Em cada caso, achar as derivadas parciais fx e fy da função dada:
h) f = x^2 * y^2 + x^3 * sen(y) + cos(x * y)

Passo 1

Nesta questão, precisamos encontrar as derivadas parciais e da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que analisam como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a .

Passo 3

Derivando o primeiro termo em relação a , obtemos:

Passo 4

Derivando o segundo termo em relação a , temos:
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 5

Derivando o terceiro termo em relação a , usamos a regra da cadeia:
A derivada interna de em relação a é .

Passo 6

Somando as derivadas dos três termos, temos a derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a .

Passo 8

Derivando o primeiro termo em relação a , obtemos:

Passo 9

Derivando o segundo termo em relação a , temos:
Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 10

Derivando o terceiro termo em relação a , usamos novamente a regra da cadeia:
A derivada interna de em relação a é .

Passo 11

Somando as derivadas dos três termos, temos a derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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