Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
h)
h)
Passo 1
Nesta questão, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que analisam como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a
.
Passo 3
Derivando o primeiro termo
em relação a
, obtemos:
Passo 4
Derivando o segundo termo
em relação a
, temos:
Aqui,
é tratado como uma constante.
Passo 5
Derivando o terceiro termo
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
A derivada interna de
em relação a
é
.
Passo 6
Somando as derivadas dos três termos, temos a derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a
.
Passo 8
Derivando o primeiro termo
em relação a
, obtemos:
Passo 9
Derivando o segundo termo
em relação a
, temos:
Aqui,
é tratado como uma constante.
Passo 10
Derivando o terceiro termo
em relação a
, usamos novamente a regra da cadeia:
A derivada interna de
em relação a
é
.
Passo 11
Somando as derivadas dos três termos, temos a derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
c)
c)
Determine se a série converge ou diverge:
(f) . (série telescópica divergente.)
(f)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
a)
a)
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) e
.)
(b)