Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais , e . Para isso, vamos derivar a função em relação a uma variável de cada vez, tratando as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar cada termo da função considerando e como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (porque é constante)
  • Derivada de em relação a : (porque é constante)
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (porque e são constantes)
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Agora, somamos todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos e como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Somando todas as derivadas:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são tratados como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
h)
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
c)
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) e .)
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(d) . (a sequência converge para e a série diverge.)