Em cada caso, determinar as derivadas parciais f_x, f_y, f_z da função dada:
a) f = x^3 + y^3 + z^3 + x^2 * y + y^2 * z + z^2 * x + x * y * z

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. A gente tem a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais , e . Para isso, vamos derivar a função em relação a uma variável de cada vez, tratando as outras como constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Isso significa que vamos derivar cada termo da função considerando e como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (porque é constante)
  • Derivada de em relação a : (porque é constante)
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a : (porque e são constantes)
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Agora, somamos todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tratamos e como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Somando todas as derivadas:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, e são tratados como constantes.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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