Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais. A gente tem a função
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
,
e
. Para isso, vamos derivar a função em relação a uma variável de cada vez, tratando as outras como constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Isso significa que vamos derivar cada termo da função
considerando
e
como constantes.
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : (porque é constante) - Derivada de
em relação a : (porque é constante) - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : (porque e são constantes) - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Agora, somamos todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
e
como constantes.
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Somando todas as derivadas:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui,
e
são tratados como constantes.
- Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a : - Derivada de
em relação a :
Somando todas as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
Exercícios relacionados
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
h)
h)
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
c)
c)
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) e
.)
(b)
Determine se a sequência
converge ou diverge e se a série
converge ou diverge.
(d) . (a sequência converge para
e a série diverge.)
(d)