Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) e .)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar uma representação em séries de potência da função . Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas e razões de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a identificação de uma série de potência. Podemos fatorar o denominador para se assemelhar à forma de uma série geométrica:

Passo 3

Agora, lembramos que uma série geométrica é da forma , onde para convergir. No nosso caso, . Então, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela constante , temos a representação em série de potência para :

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência ® da série, usamos a condição :
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

O intervalo de convergência (I) é obtido a partir da condição , o que significa que:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potência da função é:
com raio de convergência e intervalo de convergência .

Exercícios relacionados

Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
a)
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
h)
Determine se a sequência converge ou diverge e se a série converge ou diverge.
(d) . (a sequência converge para e a série diverge.)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
g)