Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) e .)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar uma representação em séries de potência da função . Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas e razões de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a identificação de uma série de potência. Podemos fatorar o denominador para se assemelhar à forma de uma série geométrica:
Passo 3
Agora, lembramos que uma série geométrica é da forma , onde para convergir. No nosso caso, . Então, podemos substituir na série geométrica:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela constante , temos a representação em série de potência para :
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência ® da série, usamos a condição :
Então, o raio de convergência é .
Passo 6
O intervalo de convergência (I) é obtido a partir da condição , o que significa que:
Portanto, o intervalo de convergência é .
Resposta
A representação em série de potência da função é:
com raio de convergência e intervalo de convergência .