Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
(b) f(x)=23-x cdot(23 sumn=0^infty(x3)^n, R=3 e I=(-3,3).)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar uma representação em séries de potência da função . Além disso, precisamos determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o conhecimento sobre séries geométricas e razões de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = 23 - x = 23 (1 - x3) = 23 cdot 11 - x3 de uma forma que facilite a identificação de uma série de potência. Podemos fatorar o denominador para se assemelhar à forma de uma série geométrica:

Passo 3

Agora, lembramos que uma série geométrica é da forma 11 - x3 = sumn=0^infty ( x3 )^n , onde para convergir. No nosso caso, . Então, podemos substituir na série geométrica:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela constante f(x) = 23 cdot sumn=0^infty ( x3 )^n , temos a representação em série de potência para :

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência ® da série, usamos a condição | x3 | < 1 implies |x| < 3 :
Então, o raio de convergência é .

Passo 6

O intervalo de convergência (I) é obtido a partir da condição -3 < x < 3 , o que significa que:
Portanto, o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potência da função é:
f(x) = 23 sumn=0^infty ( x3 )^n
com raio de convergência e intervalo de convergência .

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