Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar as derivadas parciais e da função . Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra do produto e como derivar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função dada é um produto de duas funções:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de em relação a uma variável é .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do produto:
Agora, calculamos cada derivada parcial individualmente.

Passo 4

Calculando :
Pois a derivada de em relação a é zero, já que é considerada uma constante nessa derivada.

Passo 5

Calculando :
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é zero.

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na expressão de :
Vamos simplificar isso.

Passo 7

Distribuindo :
Agora, somamos os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculamos cada derivada parcial individualmente.

Passo 9

Calculando :
Pois a derivada de em relação a é zero.

Passo 10

Calculando :
A derivada de em relação a é zero, e a derivada de é -1.

Passo 11

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Vamos simplificar isso.

Passo 12

Distribuindo :
Agora, somamos os termos semelhantes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

Exercícios relacionados

No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas: e .
Resp.:
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função no disco fechado ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos e ( ); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e .
Calcule a área limitada pelas curvas e .