Em cada caso, achar as derivadas parciais fx e fy da função dada:
b) f = (x^3 + y^3)(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar as derivadas parciais e da função . Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra do produto e como derivar funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função dada é um produto de duas funções:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de em relação a uma variável é .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do produto:
Agora, calculamos cada derivada parcial individualmente.

Passo 4

Calculando :
Pois a derivada de em relação a é zero, já que é considerada uma constante nessa derivada.

Passo 5

Calculando :
A derivada de em relação a é 1, e a derivada de em relação a é zero.

Passo 6

Agora, substituímos essas derivadas na expressão de :
Vamos simplificar isso.

Passo 7

Distribuindo :
Agora, somamos os termos semelhantes:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial , que é a derivada de em relação a .
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculamos cada derivada parcial individualmente.

Passo 9

Calculando :
Pois a derivada de em relação a é zero.

Passo 10

Calculando :
A derivada de em relação a é zero, e a derivada de é -1.

Passo 11

Substituindo essas derivadas na expressão de :
Vamos simplificar isso.

Passo 12

Distribuindo :
Agora, somamos os termos semelhantes:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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