Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar as derivadas parciais
e
da função
. Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a regra do produto e como derivar funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função dada é um produto de duas funções:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de
em relação a uma variável é
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial
, que é a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra do produto:
Agora, calculamos cada derivada parcial individualmente.
Passo 4
Calculando
:
Pois a derivada de
em relação a
é zero, já que
é considerada uma constante nessa derivada.
Passo 5
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é 1, e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 6
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de
:
Vamos simplificar isso.
Passo 7
Distribuindo
:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada parcial
, que é a derivada de
em relação a
.
Aplicando a regra do produto novamente:
Calculamos cada derivada parcial individualmente.
Passo 9
Calculando
:
Pois a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 10
Calculando
:
A derivada de
em relação a
é zero, e a derivada de
é -1.
Passo 11
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Vamos simplificar isso.
Passo 12
Distribuindo
:
Agora, somamos os termos semelhantes:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas:
e
.
Resp.:
Resp.:
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função
no disco fechado
ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos
e (
); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e
.
Calcule a área limitada pelas curvas
e
.