Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função
no disco fechado
ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos
e (
); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que os valores máximo e mínimo da função
no disco fechado
acontecem na borda desse disco. Além disso, precisamos calcular esses valores extremos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em funções de várias variáveis e propriedades de conjuntos fechados e limitados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um disco fechado. O conjunto
representa todos os pontos
no plano que estão a uma distância menor ou igual a 1 da origem. A borda desse disco é onde
.
Passo 3
Para encontrar os valores extremos de
no disco
, precisamos considerar onde a função pode atingir seus valores máximos e mínimos. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um conjunto fechado e limitado atinge seus valores extremos nesse conjunto. Então, devemos verificar os pontos internos e na borda.
Passo 4
Vamos primeiro analisar os pontos internos, onde
. Para encontrar extremos internos, calculamos as derivadas parciais de
e igualamos a zero:
Resolvendo, obtemos
e
. Portanto, o ponto crítico interno é
.
Passo 5
Agora, avaliamos
nesse ponto:
Então, no ponto interno, o valor da função é 0.
Passo 6
Agora, vamos verificar os pontos na borda do disco, onde
. Podemos parametrizar a borda usando coordenadas polares:
e
, onde
varia de 0 a
.
Passo 7
Substituindo na função
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Sabemos que a função
varia entre -1 e 1. Portanto, os valores máximos e mínimos de
na borda são 1 e -1, respectivamente.
Passo 9
Para encontrar os pontos onde
atinge esses valores, resolvemos:
Assim, os pontos são
e
.
Para o mínimo:
Os pontos correspondentes são
e
.
Resposta
O valor máximo da função
no disco fechado
é 1, ocorrendo nos pontos
e
. O valor mínimo é -1, ocorrendo nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
.
Encontre a série de Taylor de
centrada em
dada nos itens:
© .)
©
No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas:
e
.
Resp.:
Resp.:
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
b)
b)