Calcule a área limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área que fica entre as curvas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Precisaremos entender como essas duas funções se comportam e onde elas se intersectam para delimitar os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Subtraindo
de ambos os lados e adicionando 2, temos:
Então,
, o que nos dá duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual delas está à direita para determinar qual função subtrair da outra na hora de calcular a área. Vamos escolher um valor de
entre -1 e 1, por exemplo,
:
Aqui, vemos que
está mais à direita que
. Isso significa que, para calcular a área entre as curvas, subtrairemos
de
.
Passo 5
A fórmula para calcular a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
,
,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de -1 a 1:
Resposta
A área limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
b)
b)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
f)
f)
Calcule a integral iterada de
para