Calcule a área limitada pelas curvas e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área que fica entre as curvas e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Precisaremos entender como essas duas funções se comportam e onde elas se intersectam para delimitar os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Subtraindo de ambos os lados e adicionando 2, temos:
Então, , o que nos dá duas soluções:
Portanto, as curvas se intersectam nos pontos onde e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar qual delas está à direita para determinar qual função subtrair da outra na hora de calcular a área. Vamos escolher um valor de entre -1 e 1, por exemplo, :
Aqui, vemos que está mais à direita que . Isso significa que, para calcular a área entre as curvas, subtrairemos de .

Passo 5

A fórmula para calcular a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, , , e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de -1 a 1:

Resposta

A área limitada pelas curvas e é unidades de área.

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Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
b)
Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
f)
Calcule a integral iterada de para