No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas: e .
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto no plano cartesiano que deixa a soma dos quadrados das distâncias dele às três retas (eixo ), (eixo ) e a menor possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo, especialmente a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto a uma reta geral . A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto à reta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada uma das três retas do problema:
  1. Para a reta :
    • Podemos reescrever como , então , , .
    • A distância fica: .
  2. Para a reta :
    • Reescrevendo como , temos , , .
    • A distância fica: .
  3. Para a reta :
    • Aqui, , , .
    • A distância fica: .

Passo 4

Nosso objetivo é minimizar a soma dos quadrados dessas distâncias:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão de :

Passo 6

Para encontrar o mínimo de , vamos derivar em relação a e e igualar a zero. Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
çã

Passo 7

Agora, a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 3:
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:

Passo 9

Com o valor de , vamos encontrar usando a Equação 1:

Resposta

O ponto que minimiza a soma dos quadrados das distâncias às três retas é:

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Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função no disco fechado ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos e ( ); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e .
Calcular a derivada direcional máxima da função no ponto .
Em cada caso, achar as derivadas parciais e da função dada:
b)