No plano, referido a um sistema de coordenadas cartesianas, determinar o ponto M para o qual é mínima a soma dos quadrados de suas distâncias às três retas:
e
.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto
no plano cartesiano que deixa a soma dos quadrados das distâncias dele às três retas
(eixo
),
(eixo
) e
a menor possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo, especialmente a fórmula da distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto
a uma reta geral
. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá a distância perpendicular do ponto à reta.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada uma das três retas do problema:
-
Para a reta
: - Podemos reescrever como
, então , , . - A distância fica:
.
- Podemos reescrever como
-
Para a reta
: - Reescrevendo como
, temos , , . - A distância fica:
.
- Reescrevendo como
-
Para a reta
: - Aqui,
, , . - A distância fica:
.
- Aqui,
Passo 4
Nosso objetivo é minimizar a soma dos quadrados dessas distâncias:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 6
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar em relação a
e
e igualar a zero. Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 1 por 3:
Subtraindo a Equação 2 da Equação 3:
Passo 9
Com o valor de
, vamos encontrar
usando a Equação 1:
Resposta
O ponto
que minimiza a soma dos quadrados das distâncias às três retas é:
Exercícios relacionados
Mostrar que o valor máximo e o valor mínimo da função
no disco fechado
ocorrem em pontos da fronteira desse disco. Calcular esses valores extremos. Resp.: O máximo é 1 e ocorre nos pontos
e (
); o mínimo é -1 e ocorre nos pontos
e
.
Calcular a derivada direcional máxima da função
no ponto
.
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
b)
b)