Em cada caso, achar as derivadas parciais fx e fy da função dada:
d) f = (x + y + 1) / (x + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais e da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para isso, tratamos como uma constante. A função é uma fração, então podemos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada em relação a é:
Onde e .

Passo 3

Vamos calcular e em relação a :

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Aqui, tratamos como uma constante. Novamente, usaremos a regra do quociente.

Passo 6

Dessa vez, calculamos e em relação a :

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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