Determinar o domínio de
e representá-lo no plano cartesiano.
Passo 1
Vamos determinar o domínio da função
. Isso envolve identificar todos os pares
para os quais a função está definida. Para resolver isso, precisamos analisar duas condições principais:
- O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
- O radicando da raiz quadrada deve ser não negativo, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero. Precisamos resolver a equação:
Vamos completar o quadrado para simplificar essa expressão.
Passo 3
Completemos o quadrado para os termos de
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta:
Então, a condição fica:
Ou seja:
Isso representa que os pontos
não estão na circunferência com centro em
e raio 2.
Passo 4
Agora, vamos garantir que o radicando seja não negativo:
Isso implica:
Portanto, a função está definida para todos os
maiores ou iguais a
, exceto nos pontos onde
.
Passo 5
Resumindo as condições:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos
no plano cartesiano onde
, exceto aqueles que estão sobre a circunferência de raio 2 com centro em
.
Resposta
O domínio de
é o conjunto de todos os pontos
tais que
e
. Graficamente, representa a região acima da reta
no plano cartesiano, excluindo a circunferência de raio 2 centrada em
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
d)
d)
Encontre a solução geral de:
.
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
e)
e)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.