Determinar o domínio de f(x, y) = (x * raiz(y + 3)) / (x^2 + y^2 - 4 * x + 4 * y + 4) e representá-lo no plano cartesiano.

Passo 1

Vamos determinar o domínio da função . Isso envolve identificar todos os pares para os quais a função está definida. Para resolver isso, precisamos analisar duas condições principais:
  1. O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
  2. O radicando da raiz quadrada deve ser não negativo, já que não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo nos números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o denominador não seja zero. Precisamos resolver a equação:
Vamos completar o quadrado para simplificar essa expressão.

Passo 3

Completemos o quadrado para os termos de e :
Para :
Para :
Substituindo de volta:
Então, a condição fica:
Ou seja:
Isso representa que os pontos não estão na circunferência com centro em e raio 2.

Passo 4

Agora, vamos garantir que o radicando seja não negativo:
Isso implica:
Portanto, a função está definida para todos os maiores ou iguais a , exceto nos pontos onde .

Passo 5

Resumindo as condições:
Isso significa que o domínio da função é o conjunto de todos os pontos no plano cartesiano onde , exceto aqueles que estão sobre a circunferência de raio 2 com centro em .

Resposta

O domínio de é o conjunto de todos os pontos tais que e . Graficamente, representa a região acima da reta no plano cartesiano, excluindo a circunferência de raio 2 centrada em .

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