Encontre a solução geral de:
.
Passo 1
Estamos resolvendo a equação diferencial
. Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
. Resolvendo, temos as raízes
e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o termo do lado direito é
, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
, e
na equação original:
Simplificando, obtemos:
Passo 6
Igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Da equação (1), temos
. Substituindo na equação (2):
Portanto,
.
Passo 7
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada:
.
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo
a região interior à esfera
e exterior ao cone
.
(b)
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
d)
d)
Determinar o domínio de
e representá-lo no plano cartesiano.