Encontre a solução geral de: y'' + 2y' = 4 sen(2x).

Passo 1

Estamos resolvendo a equação diferencial . Para isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica: . Resolvendo, temos as raízes e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o termo do lado direito é , vamos supor que a solução particular tenha a forma:
onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , , e na equação original:
Simplificando, obtemos:

Passo 6

Igualamos os coeficientes dos termos de e :
Da equação (1), temos . Substituindo na equação (2):
Portanto, .

Passo 7

Com os valores de A e B, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

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