Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada:
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a equação diferencial
com uma solução conhecida
. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método da redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o método de redução de ordem.
Passo 2
O método da redução de ordem começa assumindo que a segunda solução
pode ser escrita como o produto de uma função
pela solução conhecida
. Ou seja, vamos considerar:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Passo 6
Podemos dividir toda a equação por
(já que
):
Passo 7
Vamos simplificar ainda mais definindo
. Assim, a equação fica:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Podemos resolver usando o fator integrante. Reescrevendo a equação:
O fator integrante é
.
Multiplicando a equação por
:
Isso se reescreve como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 9
Lembrando que
, integramos para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão para
:
Como já temos a solução
, o termo
não nos dá uma solução linearmente independente. Portanto, descartamos esse termo e consideramos apenas:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo
a região interior à esfera
e exterior ao cone
.
(b)
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) sendo
o sólido demimitado por
.
(d)
Encontre a solução geral de:
.
Em cada caso, achar as derivadas parciais
e
da função dada:
d)
d)