Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada: x^2 y'' + 2 x y' - 2 y = 0, x > 0; y1(x) = x.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos a equação diferencial com uma solução conhecida . Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução usando o método da redução de ordem. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como aplicar o método de redução de ordem.

Passo 2

O método da redução de ordem começa assumindo que a segunda solução y2(x) pode ser escrita como o produto de uma função v(x) pela solução conhecida y1(x). Ou seja, vamos considerar:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de y2(x):
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos y2(x), e na equação diferencial original:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:

Passo 6

Podemos dividir toda a equação por x^2 (já que ):

Passo 7

Vamos simplificar ainda mais definindo . Assim, a equação fica:

Passo 8

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x). Podemos resolver usando o fator integrante. Reescrevendo a equação:
O fator integrante é .
Multiplicando a equação por x^4:
Isso se reescreve como:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Assim:

Passo 9

Lembrando que , integramos para encontrar v(x):
Onde D é outra constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos v(x) na expressão para y2(x):
Como já temos a solução , o termo não nos dá uma solução linearmente independente. Portanto, descartamos esse termo e consideramos apenas:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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