Determine se a sequência {a_n}_{n in N} converge ou diverge com o seguinte termo geral:
(a) a_n = 1 - (0,9)^n. (converge para 1 )

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência {a_n}_{n in N} com termo geral a_n = 1 - (0,9)^n converge ou diverge. Vamos usar conceitos de limites de sequências, que nos ajudam a entender o comportamento da sequência conforme n cresce. Para isso, precisamos analisar o limite de a_n quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão do termo geral: . Aqui, temos uma constante 1 e uma potência . Sabemos que é um número menor que 1.

Passo 3

Quando temos uma potência de um número menor que 1 elevado a n (onde n cresce sem limite), o resultado dessa potência tende a zero. Em outras palavras, .

Passo 4

Agora, aplicamos esse limite na expressão de a_n:
Substituindo o limite que sabemos:

Resposta

A sequência a_n converge para 1.

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