Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde R é a região retangular de vértices P e Q, De é uma partição de R e (barxi, baryj) é o centro de cada subregião. integral duplaR^R(x y+3 y^2) d A, P=(-2,0), Q=(4,6), De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla aproximada sobre uma região retangular , que tem vértices nos pontos e . A função que vamos integrar é . Para isso, vamos dividir a região em subretângulos usando a partição fornecida, e depois usar o centro de cada sub-região para calcular uma soma que aproxima a integral. Vamos precisar entender como dividir a região, encontrar os centros e calcular a área de cada sub-região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região retangular . O ponto e o ponto nos dão que:
  • No eixo : de a
  • No eixo : de a
Agora, a partição nos divide em sub-regiões usando os valores de e fornecidos:
  • Em : , ,
  • Em : , ,
Isso significa que vamos ter intervalos em e intervalos em , formando sub-retângulos no total.

Passo 3

Vamos determinar as dimensões de cada sub-região. Como dividimos Área = De de a e de a , e de a e de a , cada sub-região terá:
  • Largura em : (porque e )
  • Altura em : (pois e )
Então, a área de cada sub-região é:
Á

Passo 4

Agora, vamos encontrar os centros barx1 = -2 + 02 = -1, bary1 = 0 + 22 = 1 de cada sub-região. Para cada sub-retângulo, o centro é a média dos valores de barx2 = -1, bary2 = 2 + 42 = 3 e barx3 = 0 + 22 = 1, bary3 = 1 dos seus vértices.
  1. Primeiro sub-retângulo ( barx4 = 1, bary4 = 3 de a , de a ):
  2. Segundo sub-retângulo ( de a , de a ):
  3. Terceiro sub-retângulo ( de a , de a ):
  4. Quarto sub-retângulo ( de a , de a ):

Passo 5

Agora, para cada centro f(-1, 1) = (-1)(1) + 3(1)^2 = -1 + 3 = 2 , vamos calcular o valor da função f(-1, 3) = (-1)(3) + 3(3)^2 = -3 + 27 = 24 :
  1. Para f(1, 1) = (1)(1) + 3(1)^2 = 1 + 3 = 4 :
    f(1, 3) = (1)(3) + 3(3)^2 = 3 + 27 = 30
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área de sua sub-região e somar tudo para obter a aproximação da integral dupla:
Integral Aproximada = f(-1, 1) times 4 + f(-1, 3) times 4 + f(1, 1) times 4 + f(1, 3) times 4
Substituindo os valores:
Integral Aproximada = 2 times 4 + 24 times 4 + 4 times 4 + 30 times 4 = 8 + 96 + 16 + 120 = 240

Resposta

A aproximação da integral dupla é .

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