Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla aproximada sobre uma região retangular , que tem vértices nos pontos e . A função que vamos integrar é . Para isso, vamos dividir a região em subretângulos usando a partição fornecida, e depois usar o centro de cada sub-região para calcular uma soma que aproxima a integral. Vamos precisar entender como dividir a região, encontrar os centros e calcular a área de cada sub-região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região retangular . O ponto e o ponto nos dão que:
  • No eixo : de a
  • No eixo : de a
Agora, a partição nos divide em sub-regiões usando os valores de e fornecidos:
  • Em : , ,
  • Em : , ,
Isso significa que vamos ter intervalos em e intervalos em , formando sub-retângulos no total.

Passo 3

Vamos determinar as dimensões de cada sub-região. Como dividimos de a e de a , e de a e de a , cada sub-região terá:
  • Largura em : (porque e )
  • Altura em : (pois e )
Então, a área de cada sub-região é:
Á

Passo 4

Agora, vamos encontrar os centros de cada sub-região. Para cada sub-retângulo, o centro é a média dos valores de e dos seus vértices.
  1. Primeiro sub-retângulo ( de a , de a ):
  2. Segundo sub-retângulo ( de a , de a ):
  3. Terceiro sub-retângulo ( de a , de a ):
  4. Quarto sub-retângulo ( de a , de a ):

Passo 5

Agora, para cada centro , vamos calcular o valor da função :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área de sua sub-região e somar tudo para obter a aproximação da integral dupla:
Substituindo os valores:

Resposta

A aproximação da integral dupla é .

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