Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla aproximada sobre uma região retangular
, que tem vértices nos pontos
e
. A função que vamos integrar é
. Para isso, vamos dividir a região
em subretângulos usando a partição
fornecida, e depois usar o centro de cada sub-região para calcular uma soma que aproxima a integral. Vamos precisar entender como dividir a região, encontrar os centros e calcular a área de cada sub-região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da região retangular
. O ponto
e o ponto
nos dão que:
- No eixo
: de a - No eixo
: de a
Agora, a partição
nos divide
em sub-regiões usando os valores de
e
fornecidos:
- Em
: , , - Em
: , ,
Isso significa que vamos ter
intervalos em
e
intervalos em
, formando
sub-retângulos no total.
Passo 3
Vamos determinar as dimensões de cada sub-região. Como dividimos
de
a
e de
a
, e
de
a
e de
a
, cada sub-região terá:
- Largura em
: (porque e ) - Altura em
: (pois e )
Então, a área de cada sub-região é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os centros
de cada sub-região. Para cada sub-retângulo, o centro é a média dos valores de
e
dos seus vértices.
-
Primeiro sub-retângulo (
de a , de a ): -
Segundo sub-retângulo (
de a , de a ): -
Terceiro sub-retângulo (
de a , de a ): -
Quarto sub-retângulo (
de a , de a ):
Passo 5
Agora, para cada centro
, vamos calcular o valor da função
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área de sua sub-região e somar tudo para obter a aproximação da integral dupla:
Substituindo os valores:
Resposta
A aproximação da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano
, no interior do cilindro
e contido no elipsoide
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas: