Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano , no interior do cilindro e contido no elipsoide

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está acima do plano , dentro de um cilindro definido por e também contido num elipsoide dado por
Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com simetrias circulares como a do cilindro. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e depois integrar para achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro de um jeito mais amigável. Percebemos que isso pode ser reorganizado como:
Isso mostra que o cilindro tem uma seção circular com raio e está deslocado no eixo y.

Passo 3

Agora, vamos passar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Descartando , temos . Isso nos dá o limite para em termos de .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a equação do elipsoide em coordenadas polares. Substituindo e :
Simplificando:
Isso pode ser rearranjado para resolver :
Esse é o limite superior para .

Passo 5

Para encontrar o volume, vamos integrar em coordenadas polares. O elemento de volume em coordenadas polares é dado por .
Como estamos acima do plano , vai de 0 até .
Portanto, o volume é:
Aqui, o vai de 0 a porque o cilindro está simétrico verticalmente.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral em . Seja , então , ou seja, .
Mudando os limites: quando , ; quando , .
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, integramos em :
Aplicando os limites:
Então, o volume fica:

Passo 9

Vamos calcular a integral em :
e
porque é uma função ímpar em torno de .
Portanto,

Passo 10

Finalmente, substituindo na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é

Exercícios relacionados

Encontre a derivada:
Encontre a derivada:
(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .