Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano
, no interior do cilindro
e contido no elipsoide
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o volume de um sólido que está acima do plano
, dentro de um cilindro definido por
e também contido num elipsoide dado por
Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando lidamos com simetrias circulares como a do cilindro. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e depois integrar para achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do cilindro
de um jeito mais amigável. Percebemos que isso pode ser reorganizado como:
Isso mostra que o cilindro tem uma seção circular com raio
e está deslocado no eixo y.
Passo 3
Agora, vamos passar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Descartando
, temos
. Isso nos dá o limite para
em termos de
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a equação do elipsoide em coordenadas polares. Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso pode ser rearranjado para resolver
:
Esse é o limite superior para
.
Passo 5
Para encontrar o volume, vamos integrar em coordenadas polares. O elemento de volume em coordenadas polares é dado por
.
Como estamos acima do plano
,
vai de 0 até
.
Portanto, o volume
é:
Aqui, o
vai de 0 a
porque o cilindro está simétrico verticalmente.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral em
. Seja
, então
, ou seja,
.
Mudando os limites: quando
,
; quando
,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Aplicando os limites:
Então, o volume fica:
Passo 9
Vamos calcular a integral em
:
e
porque é uma função ímpar em torno de
.
Portanto,
Passo 10
Finalmente, substituindo na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
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(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.