(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um esferoide oblato usando uma integral dupla em coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que é um esferoide oblato. A equação dada é:
Isso representa uma forma achatada nos polos (devido a ). Para encontrar o volume, vamos integrar sobre a área da base usando coordenadas polares e depois considerar a altura em cada ponto.

Passo 2

Vamos começar mudando para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, temos e , mas em coordenadas polares, usamos (raio) e (ângulo). As relações são:
A área diferencial em coordenadas polares é dada por:

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de . A equação do esferoide pode ser rearranjada para encontrar :
Então,
Como estamos calculando o volume total, vamos considerar apenas a parte positiva e depois multiplicar por 2.

Passo 4

O volume pode ser calculado integrando a altura sobre a área da base:
Aqui, é para considerar as duas metades do esferoide.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo:
Integrando:

Passo 6

Agora, substituímos na integral do volume:
Integrando em :

Resposta

O volume do esferoide oblato é:

Exercícios relacionados

Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano , no interior do cilindro e contido no elipsoide
Encontre a derivada:
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)