(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um esferoide oblato usando uma integral dupla em coordenadas polares. Primeiro, vamos entender o que é um esferoide oblato. A equação dada é:
Isso representa uma forma achatada nos polos (devido a
). Para encontrar o volume, vamos integrar sobre a área da base usando coordenadas polares e depois considerar a altura em cada ponto.
Passo 2
Vamos começar mudando para coordenadas polares. Nas coordenadas cartesianas, temos
e
, mas em coordenadas polares, usamos
(raio) e
(ângulo). As relações são:
A área diferencial em coordenadas polares é dada por:
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
. A equação do esferoide pode ser rearranjada para encontrar
:
Então,
Como estamos calculando o volume total, vamos considerar apenas a parte positiva e depois multiplicar por 2.
Passo 4
O volume
pode ser calculado integrando a altura
sobre a área da base:
Aqui,
é para considerar as duas metades do esferoide.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Substituindo:
Integrando:
Passo 6
Agora, substituímos
na integral do volume:
Integrando em
:
Resposta
O volume do esferoide oblato é:
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Use coordenadas polares para calcular o volume do sólido acima do plano
, no interior do cilindro
e contido no elipsoide
Encontre a derivada:
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)