Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . E, usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
Vamos distribuir o :

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para a segunda integral , vamos usar substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:

Resposta

Portanto, a integral de é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.