Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
. E, usando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever a expressão como:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Vamos distribuir o
:
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para a segunda integral
, vamos usar substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
na integral, temos:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
Portanto, a integral de
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
(a) Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do esferoide oblato
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.