Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
I=integral sin ^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais envolvendo potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever sin^3(x) = sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) de uma forma que facilite a integração. Sabemos que . E, usando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
I = integral sin(x) cdot (1 - cos^2(x)) , dx
Vamos distribuir o I = integral sin(x) , dx - integral sin(x) cos^2(x) , dx :

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
integral sin(x) , dx = -cos(x) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para a segunda integral du = -sin(x) , dx Rightarrow -du = sin(x) , dx , vamos usar substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo integral sin(x) cos^2(x) , dx = -integral u^2 , du = -( u^33 ) + C = -cos^3(x)3 + C na integral, temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
I = -cos(x) - ( -cos^3(x)3 ) + C = -cos(x) + cos^3(x)3 + C

Resposta

Portanto, a integral de I = -cos(x) + cos^3(x)3 + C é:

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