Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região . Estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades que dependem de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. A região é um retângulo, então podemos integrar primeiro em de 1 a 4 e depois em de 1 a 2:

Passo 3

Vamos resolver a parte interna da integral, que é a integral em relação a :
  • Primeira parte: é uma constante em relação a , então:
  • Segunda parte: também pode ser simplificada:
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral externa, que é a integral em relação a :
  • Primeira parte:
  • Segunda parte:
Como , podemos simplificar:

Resposta

Somando as duas partes:
Então, a integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.