Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
. Estamos lidando com integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades que dependem de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a integral dupla em duas integrais simples, uma depois da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. A região
é um retângulo, então podemos integrar primeiro em
de 1 a 4 e depois em
de 1 a 2:
Passo 3
Vamos resolver a parte interna da integral, que é a integral em relação a
:
- Primeira parte:
é uma constante em relação a , então:
- Segunda parte:
também pode ser simplificada:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral externa, que é a integral em relação a
:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Como
, podemos simplificar:
Resposta
Somando as duas partes:
Então, a integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.
Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares.