Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral dupla. A ideia é encontrar um valor aproximado para a integral de sobre uma região retangular . A região é definida pelos pontos e . Para isso, vamos dividir essa região em partes menores usando a partição que nos dá os pontos de corte em e . Vamos precisar entender como fazer essa divisão e depois somar os valores da função nos centros dessas sub-regiões multiplicados pela área de cada uma. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a região em retangulinhos menores usando a partição . Para isso, olhamos os pontos de corte:
  • Em : , ,
  • Em : , ,
Isso cria 2 intervalos em (de 0 a 2 e de 2 a 4) e 2 intervalos em (de -2 a 0 e de 0 a 2). No total, teremos sub-regiões retangulares dentro de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de cada sub-região. Como todas as sub-regiões são retângulos com o mesmo tamanho, basta multiplicar a largura pela altura:
  • Largura em : e
  • Altura em : e
Então, a área de cada sub-região é:

Passo 4

Vamos encontrar os centros de cada sub-região, que são os pontos médios. Para cada retângulo, o centro é calculado assim:
  1. Primeiro retângulo (0 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 0):
  2. Segundo retângulo (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2):
  3. Terceiro retângulo (2 ≤ x ≤ 4, -2 ≤ y ≤ 0):
  4. Quarto retângulo (2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2):

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função em cada um desses centros:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área :
  1. Primeiro retângulo:
  2. Segundo retângulo:
  3. Terceiro retângulo:
  4. Quarto retângulo:

Passo 7

Por fim, vamos somar todos esses valores para obter a aproximação da integral dupla:

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é 48.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites.
(a)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Calcule os seguintes limites.
©
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas: