Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde R é a região retangular de vértices P e Q, De é uma partição de R e (barxi, baryj) é o centro de cada subregião. integral duplaR^R(x y+3 y^2) d A, P=(0,-2), Q=(6,4), De.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral dupla. A ideia é encontrar um valor aproximado para a integral de sobre uma região retangular . A região é definida pelos pontos e . Para isso, vamos dividir essa região em partes menores usando a partição que nos dá os pontos de corte em e . Vamos precisar entender como fazer essa divisão e depois somar os valores da função nos centros dessas sub-regiões multiplicados pela área de cada uma. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a região em retangulinhos menores usando a partição . Para isso, olhamos os pontos de corte:
  • Em : , ,
  • Em : , ,
Isso cria 2 intervalos em (de 0 a 2 e de 2 a 4) e 2 intervalos em (de -2 a 0 e de 0 a 2). No total, teremos sub-regiões retangulares dentro de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a área de cada sub-região. Como todas as sub-regiões são retângulos com o mesmo tamanho, basta multiplicar a largura pela altura:
  • Largura em De: e
  • Altura em : e
Então, a área de cada sub-região é:

Passo 4

Vamos encontrar os centros de cada sub-região, que são os pontos médios. Para cada retângulo, o centro barx1 = 0 + 22 = 1, bary1 = -2 + 02 = -1 é calculado assim:
  1. Primeiro retângulo (0 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 0):
    barx2 = 0 + 22 = 1, bary2 = 0 + 22 = 1
  2. Segundo retângulo (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2):
    barx3 = 2 + 42 = 3, bary3 = -2 + 02 = -1
  3. Terceiro retângulo (2 ≤ x ≤ 4, -2 ≤ y ≤ 0):
    barx4 = 2 + 42 = 3, bary4 = 0 + 22 = 1
  4. Quarto retângulo (2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2):

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(1, -1) = (1)(-1) + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2 em cada um desses centros:
  1. Para f(1, 1) = (1)(1) + 3(1)^2 = 1 + 3 = 4 :
    f(3, -1) = (3)(-1) + 3(-1)^2 = -3 + 3 = 0
  2. Para f(3, 1) = (3)(1) + 3(1)^2 = 3 + 3 = 6 :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área 2 times 4 = 8 :
  1. Primeiro retângulo:
    4 times 4 = 16
  2. Segundo retângulo:
    0 times 4 = 0
  3. Terceiro retângulo:
    6 times 4 = 24
  4. Quarto retângulo:

Passo 7

Por fim, vamos somar todos esses valores para obter a aproximação da integral dupla:
8 + 16 + 0 + 24 = 48

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é 48.

Exercícios relacionados