Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo integral dupla. A ideia é encontrar um valor aproximado para a integral de
sobre uma região retangular
. A região
é definida pelos pontos
e
. Para isso, vamos dividir essa região em partes menores usando a partição
que nos dá os pontos de corte em
e
. Vamos precisar entender como fazer essa divisão e depois somar os valores da função nos centros dessas sub-regiões multiplicados pela área de cada uma. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a região
em retangulinhos menores usando a partição
. Para isso, olhamos os pontos de corte:
- Em
: , , - Em
: , ,
Isso cria 2 intervalos em
(de 0 a 2 e de 2 a 4) e 2 intervalos em
(de -2 a 0 e de 0 a 2). No total, teremos
sub-regiões retangulares dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de cada sub-região. Como todas as sub-regiões são retângulos com o mesmo tamanho, basta multiplicar a largura pela altura:
- Largura em
: e - Altura em
: e
Então, a área de cada sub-região é:
Passo 4
Vamos encontrar os centros de cada sub-região, que são os pontos médios. Para cada retângulo, o centro
é calculado assim:
-
Primeiro retângulo (0 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ 0):
-
Segundo retângulo (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2):
-
Terceiro retângulo (2 ≤ x ≤ 4, -2 ≤ y ≤ 0):
-
Quarto retângulo (2 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2):
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
em cada um desses centros:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar cada valor da função pelo valor da área
:
-
Primeiro retângulo:
-
Segundo retângulo:
-
Terceiro retângulo:
-
Quarto retângulo:
Passo 7
Por fim, vamos somar todos esses valores para obter a aproximação da integral dupla:
Resposta
O valor aproximado da integral dupla é 48.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites.
(a)
(a)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Calcule os seguintes limites.
©
©
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas: