Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um valor aproximado da integral dupla , onde é um retângulo com vértices em e . A partição divide esse retângulo nas linhas e . Para resolver isso, vamos usar a soma de Riemann com pontos médios, ou seja, vamos calcular o valor da função no centro de cada subretângulo e somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos subretângulos temos. Como dividimos o intervalo de em 4 partes ( a , a , a , a ) e o intervalo de em 2 partes ( a , a ), teremos um total de subretângulos.

Passo 3

Agora, vamos determinar as dimensões de cada subretângulo. A largura em é unidade (por exemplo, de a , de a , etc.) e a altura em também é unidade (de a e de a ). Portanto, a área de cada subretângulo é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o centro de cada subregião . O centro de um subretângulo que vai de a e de a é:
Vamos calcular os centros para todos os 8 subretângulos:
  1. Subretângulo 1: ,
  2. Subretângulo 2: ,
  3. Subretângulo 3: ,
  4. Subretângulo 4: ,
  5. Subretângulo 5: ,
  6. Subretângulo 6: ,
  7. Subretângulo 7: ,
  8. Subretângulo 8: ,

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função em cada ponto central:

Passo 6

Agora, multiplicamos cada valor da função pelo respectivo (que é ) e somamos todos os resultados para obter a aproximação da integral dupla:
Vamos somar:

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é .

Exercícios relacionados

O trabalho realizado por uma força cujo ângulo entre a direç̧ão do movimento e a força é dado por , pode ser obtido pela seguinte fórmula:
em que e são as posições inicial e final, respectivamente.
a- Calcule a melhor aproximação ao trabalho realizado, W , ao puxar um bloco da posição 0 ft até à posição 30 ft sabendo que a força aplicada e o ângulo usado são dados na tabela seguinte.
X 0 2,5 5 15 20 25 30
0,0 7,0 9,0 14,0 10,5 12,0 5,0
0,5 0,9 1,4 0,9 1,3 1,48 1,5
Calcule os seguintes limites.
(f)
Calcule os seguintes limites.
(a)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .