Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um valor aproximado da integral dupla
, onde
é um retângulo com vértices em
e
. A partição
divide esse retângulo nas linhas
e
. Para resolver isso, vamos usar a soma de Riemann com pontos médios, ou seja, vamos calcular o valor da função no centro de cada subretângulo e somar tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantos subretângulos temos. Como dividimos o intervalo de
em 4 partes (
a
,
a
,
a
,
a
) e o intervalo de
em 2 partes (
a
,
a
), teremos um total de
subretângulos.
Passo 3
Agora, vamos determinar as dimensões de cada subretângulo. A largura em
é
unidade (por exemplo, de
a
, de
a
, etc.) e a altura em
também é
unidade (de
a
e de
a
). Portanto, a área de cada subretângulo é:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o centro de cada subregião
. O centro de um subretângulo que vai de
a
e de
a
é:
Vamos calcular os centros para todos os 8 subretângulos:
- Subretângulo 1:
, - Subretângulo 2:
, - Subretângulo 3:
, - Subretângulo 4:
, - Subretângulo 5:
, - Subretângulo 6:
, - Subretângulo 7:
, - Subretângulo 8:
,
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
em cada ponto central:
Passo 6
Agora, multiplicamos cada valor da função pelo respectivo
(que é
) e somamos todos os resultados para obter a aproximação da integral dupla:
Vamos somar:
Resposta
O valor aproximado da integral dupla é
.