Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde R é a região retangular de vértices P e Q, De é uma partição de R e (barxi, baryj) é o centro de cada subregião. integral duplaR(x^2+y) d A, P=(0,0), Q=(4,2), De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um valor aproximado da integral dupla integral duplaR(x^2+y) d A, onde R é um retângulo com vértices em P=(0,0) e Q=(4,2). A partição De divide esse retângulo nas linhas x=0,1,2,3 e y=0,1. Para resolver isso, vamos usar a soma de Riemann com pontos médios, ou seja, vamos calcular o valor da função no centro de cada subretângulo e somar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos subretângulos temos. Como dividimos o intervalo de x em 4 partes ( 0 a 1, 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4) e o intervalo de y em 2 partes ( 0 a 1, 1 a 2), teremos um total de 4 times 2 = 8 subretângulos.

Passo 3

Agora, vamos determinar as dimensões de cada subretângulo. A largura em x é 1 unidade (por exemplo, de 0 a 1, de 1 a 2, etc.) e a altura em y também é 1 unidade (de 0 a 1 e de 1 a 2). Portanto, a área de cada subretângulo é:
De

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o centro de cada subregião (barxi, baryj). O centro de um subretângulo que vai de x=a a x=b e de y=c a y=d é:
barx = a + b2, bary = c + d2
Vamos calcular os centros para todos os 8 subretângulos:
  1. Subretângulo 1: x in [0,1], y in [0,1] (barx, bary) = (0+12, 0+12) = (0.5, 0.5)
  2. Subretângulo 2: x in [1,2], y in [0,1] (barx, bary) = (1.5, 0.5)
  3. Subretângulo 3: x in [2,3], y in [0,1] (barx, bary) = (2.5, 0.5)
  4. Subretângulo 4: x in [3,4], y in [0,1] (barx, bary) = (3.5, 0.5)
  5. Subretângulo 5: x in [0,1], y in [1,2] (barx, bary) = (0.5, 1.5)
  6. Subretângulo 6: x in [1,2], y in [1,2] (barx, bary) = (1.5, 1.5)
  7. Subretângulo 7: x in [2,3], y in [1,2] (barx, bary) = (2.5, 1.5)
  8. Subretângulo 8: x in [3,4], y in [1,2] (barx, bary) = (3.5, 1.5)

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(x, y) = x^2 + y em cada ponto central:
  1. f(0.5, 0.5) = (0.5)^2 + 0.5 = 0.25 + 0.5 = 0.75
  2. f(1.5, 0.5) = (1.5)^2 + 0.5 = 2.25 + 0.5 = 2.75
  3. f(2.5, 0.5) = (2.5)^2 + 0.5 = 6.25 + 0.5 = 6.75
  4. f(3.5, 0.5) = (3.5)^2 + 0.5 = 12.25 + 0.5 = 12.75
  5. f(0.5, 1.5) = (0.5)^2 + 1.5 = 0.25 + 1.5 = 1.75
  6. f(1.5, 1.5) = (1.5)^2 + 1.5 = 2.25 + 1.5 = 3.75
  7. f(2.5, 1.5) = (2.5)^2 + 1.5 = 6.25 + 1.5 = 7.75
  8. f(3.5, 1.5) = (3.5)^2 + 1.5 = 12.25 + 1.5 = 13.75

Passo 6

Agora, multiplicamos cada valor da função pelo respectivo De (que é 1) e somamos todos os resultados para obter a aproximação da integral dupla:
integral duplaR(x^2+y) d A approx sum f(barxi, baryj) De
Vamos somar:
0.75 + 2.75 + 6.75 + 12.75 + 1.75 + 3.75 + 7.75 + 13.75 = 49.5

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é 49.5.

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