Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A questão pede para calcular a integral de sobre a região . Isso significa que vamos integrar a função nas variáveis e dentro dos limites dados. Para isso, vamos precisar saber como configurar e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que define um retângulo no plano , onde varia de 0 a 2 e varia de 1 a 2. A integral dupla sobre essa região é representada por:
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas pode ser escrito como ou . Vamos escolher para facilitar.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla com os limites de e :
Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a de 0 a 2, mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a de 1 a 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 2:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliaremos de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule os seguintes limites.
©
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Determine a derivada da função no ponto dado e na direção de .
Explique o significado de
(a) ;
(b)