Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas: f(x, y) = x - 3y^2, R = [0, 2] x [1, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A questão pede para calcular a integral de sobre a região . Isso significa que vamos integrar a função nas variáveis e dentro dos limites dados. Para isso, vamos precisar saber como configurar e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que define um retângulo no plano , onde varia de 0 a 2 e varia de 1 a 2. A integral dupla sobre essa região é representada por:
Aqui, é o elemento de área, que para integrais duplas pode ser escrito como ou . Vamos escolher para facilitar.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla com os limites de e :
Isso significa que primeiro vamos integrar em relação a de 0 a 2, mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a de 1 a 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de 0 a 2:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliaremos de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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