Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver uma integral dupla aproximada. A questão nos pede para calcular
onde
é um retângulo definido pelos pontos
e
. Para isso, vamos usar uma partição específica de
com divisões em
em 0, 1 e 4, e em
em 0 e 2. O conteúdo envolve integrais duplas e somas de Riemann, que basicamente ajudam a aproximar áreas sob superfícies. Precisamos identificar os subretângulos, encontrar os centros deles, calcular os valores da função nesses pontos e somar tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. É um retângulo que vai de
a
e de
a
. A partição
divide esse retângulo em subretângulos menores usando os pontos dados em
e
.
Passo 3
Vamos dividir o eixo
nos pontos
,
e
. Isso cria duas divisões no eixo
: de 0 a 1 e de 1 a 4. No eixo
, temos
e
, criando uma divisão de 0 a 2. Como o retângulo vai até
, precisamos considerar que há duas divisões em
: de 0 a 2 e de 2 a 4.
Passo 4
Agora, identificamos todos os subretângulos formados por essas divisões:
- De
a e a - De
a e a - De
a e a - De
a e a
Passo 5
Vamos encontrar o centro de cada subretângulo
. O centro é simplesmente a média dos limites de
e
de cada subregião.
- Primeiro subretângulo:
- Segundo subretângulo:
- Terceiro subretângulo:
- Quarto subretângulo:
Passo 6
Agora, calculamos o valor da função
em cada um desses centros:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Em seguida, determinamos a área de cada subretângulo. Cada área é dada pela largura vezes a altura:
- Subretângulos 1 e 2:
- Subretângulos 3 e 4:
Passo 8
Finalmente, calculamos a soma de Riemann multiplicando os valores da função pelas áreas correspondentes e somando tudo:
Resposta
O valor aproximado da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Explique o significado de
(a) ;
(b)
(a)
(b)
Determine a derivada da função
no ponto dado e na direção de
.
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas: