Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver uma integral dupla aproximada. A questão nos pede para calcular onde é um retângulo definido pelos pontos e . Para isso, vamos usar uma partição específica de com divisões em em 0, 1 e 4, e em em 0 e 2. O conteúdo envolve integrais duplas e somas de Riemann, que basicamente ajudam a aproximar áreas sob superfícies. Precisamos identificar os subretângulos, encontrar os centros deles, calcular os valores da função nesses pontos e somar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . É um retângulo que vai de a e de a . A partição divide esse retângulo em subretângulos menores usando os pontos dados em e .

Passo 3

Vamos dividir o eixo nos pontos , e . Isso cria duas divisões no eixo : de 0 a 1 e de 1 a 4. No eixo , temos e , criando uma divisão de 0 a 2. Como o retângulo vai até , precisamos considerar que há duas divisões em : de 0 a 2 e de 2 a 4.

Passo 4

Agora, identificamos todos os subretângulos formados por essas divisões:
  1. De a e a
  2. De a e a
  3. De a e a
  4. De a e a

Passo 5

Vamos encontrar o centro de cada subretângulo . O centro é simplesmente a média dos limites de e de cada subregião.
  1. Primeiro subretângulo:
  2. Segundo subretângulo:
  3. Terceiro subretângulo:
  4. Quarto subretângulo:

Passo 6

Agora, calculamos o valor da função em cada um desses centros:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 7

Em seguida, determinamos a área de cada subretângulo. Cada área é dada pela largura vezes a altura:
  1. Subretângulos 1 e 2: Á
  2. Subretângulos 3 e 4: Á

Passo 8

Finalmente, calculamos a soma de Riemann multiplicando os valores da função pelas áreas correspondentes e somando tudo:

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é .

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Explique o significado de
(a) ;
(b)
Determine a derivada da função no ponto dado e na direção de .
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas: