Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde R é a região retangular de vértices P e Q, De é uma partição de R e (barxi, baryj) é o centro de cada subregião. integral duplaR(2-x-y) d A, P=(0,0), Q=(6,4), De.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver uma integral dupla aproximada. A questão nos pede para calcular onde é um retângulo definido pelos pontos e . Para isso, vamos usar uma partição específica de com divisões em em 0, 1 e 4, e em em 0 e 2. O conteúdo envolve integrais duplas e somas de Riemann, que basicamente ajudam a aproximar áreas sob superfícies. Precisamos identificar os subretângulos, encontrar os centros deles, calcular os valores da função nesses pontos e somar tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . É um retângulo que vai de a e de a . A partição divide esse retângulo em subretângulos menores usando os pontos dados em e .

Passo 3

Vamos dividir o eixo nos pontos , e . Isso cria duas divisões no eixo : de 0 a 1 e de 1 a 4. No eixo , temos e , criando uma divisão de 0 a 2. Como o retângulo vai até , precisamos considerar que há duas divisões em : de 0 a 2 e de 2 a 4.

Passo 4

Agora, identificamos todos os subretângulos formados por essas divisões:
  1. De a e a
  2. De a e a
  3. De a e a
  4. De a e a

Passo 5

Vamos encontrar o centro de cada subretângulo barx1 = 0 + 12 = 0.5, bary1 = 0 + 22 = 1 . O centro é simplesmente a média dos limites de barx2 = 0 + 12 = 0.5, bary2 = 2 + 42 = 3 e barx3 = 1 + 42 = 2.5, bary3 = 0 + 22 = 1 de cada subregião.
  1. Primeiro subretângulo: barx4 = 1 + 42 = 2.5, bary4 = 2 + 42 = 3
  2. Segundo subretângulo:
  3. Terceiro subretângulo:
  4. Quarto subretângulo:

Passo 6

Agora, calculamos o valor da função f(0.5, 1) = 2 - 0.5 - 1 = 0.5 em cada um desses centros:
  1. Para f(0.5, 3) = 2 - 0.5 - 3 = -1.5 : f(2.5, 1) = 2 - 2.5 - 1 = -1.5
  2. Para f(2.5, 3) = 2 - 2.5 - 3 = -3.5 :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 7

Em seguida, determinamos a área de cada subretângulo. Cada área é dada pela largura vezes a altura:
  1. Subretângulos 1 e 2: Área = (1 - 0) times (2 - 0) = 1 times 2 = 2 Á
  2. Subretângulos 3 e 4: Área = (4 - 1) times (2 - 0) = 3 times 2 = 6 Á

Passo 8

Finalmente, calculamos a soma de Riemann multiplicando os valores da função pelas áreas correspondentes e somando tudo:
Soma de Riemann = f(0.5, 1) times 2 + f(0.5, 3) times 2 + f(2.5, 1) times 6 + f(2.5, 3) times 6
= 0.5 times 2 + (-1.5) times 2 + (-1.5) times 6 + (-3.5) times 6
= 1 - 3 - 9 - 21 = -32

Resposta

O valor aproximado da integral dupla é .

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