Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para
e
e aplicar a fórmula da integral dupla.
Passo 2
Primeiro, identificamos os limites de integração. A região
significa que:
-
varia de -1 a 2 - Para cada valor de
, varia de -1 a 4
Então, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:
Substituindo os limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 4
Agora, calculamos a integral externa em relação a
:
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral externa fica:
Substituindo os limites de
:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Explique o significado de
(a) ;
(b)
(a)
(b)
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões
dadas:
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação
tem uma solução entre 1 e 2.