Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas: f(x, y) = y + 2x, R = [-1, 2] x [-1, 4]

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para e e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração. A região significa que:
  • varia de -1 a 2
  • Para cada valor de , varia de -1 a 4
Então, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:
Substituindo os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 4

Agora, calculamos a integral externa em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral externa fica:
Substituindo os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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