Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:

Passo 1

Vamos resolver o exercício de calcular a integral dupla da função sobre a região . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em regiões retangulares. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para e e aplicar a fórmula da integral dupla.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração. A região significa que:
  • varia de -1 a 2
  • Para cada valor de , varia de -1 a 4
Então, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral interna fica:
Substituindo os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 4

Agora, calculamos a integral externa em relação a :
Integrando termo a termo:
Portanto, a integral externa fica:
Substituindo os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Explique o significado de
(a) ;
(b)
Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação tem uma solução entre 1 e 2.