Determine a derivada da função no ponto dado e na direção de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Vamos derivar termo a termo:
  1. (usando a regra do quociente)
  2. Para , usamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Derivando termo a termo:
  1. (já que é constante em relação a )
  2. Para , novamente usamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente no ponto :
Substituindo e nas expressões:
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões dadas:
Calcule os seguintes limites.
©
Explique o significado de
(a) ;
(b)
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .