Determine a derivada da função no ponto dado e na direção de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Vamos derivar termo a termo:
(usando a regra do quociente)
Para , usamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Derivando termo a termo:
(já que é constante em relação a )
Para , novamente usamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente no ponto :
Substituindo e nas expressões:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .