O trabalho realizado por uma força cujo ângulo entre a direç̧ão do movimento e a força é dado por , pode ser obtido pela seguinte fórmula:
em que e são as posições inicial e final, respectivamente.
a- Calcule a melhor aproximação ao trabalho realizado, W , ao puxar um bloco da posição 0 ft até à posição 30 ft sabendo que a força aplicada e o ângulo usado são dados na tabela seguinte.
X 0 2,5 5 15 20 25 30
0,0 7,0 9,0 14,0 10,5 12,0 5,0
0,5 0,9 1,4 0,9 1,3 1,48 1,5

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. A questão quer calcular o trabalho realizado, , ao puxar um bloco da posição 0 ft até a posição 30 ft, usando uma força e um ângulo que variam com a posição . Para isso, usaremos a fórmula do trabalho:
Precisamos usar conceitos de cálculo de integrais e física sobre trabalho realizado por uma força variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como aproximar essa integral. Como temos os valores de e em posições específicas, vamos usar a regra do trapézio para aproximar a integral. A regra do trapézio estima a integral como a soma das áreas de trapézios formados entre cada par de pontos adjacentes.

Passo 3

Vamos dividir o intervalo de 0 ft a 30 ft em subintervalos conforme os pontos fornecidos:
  • 0 ft a 2,5 ft
  • 2,5 ft a 5 ft
  • 5 ft a 15 ft
  • 15 ft a 20 ft
  • 20 ft a 25 ft
  • 25 ft a 30 ft
Para cada subintervalo, calcularemos nos extremos e aplicaremos a regra do trapézio.

Passo 4

Primeiro, calculamos para cada ponto:
  1. x = 0 ft:
    lb
    rad
  2. x = 2,5 ft:
    lb
    rad
    lb
  3. x = 5 ft:
    lb
    rad
    lb
  4. x = 15 ft:
    lb
    rad
    lb
  5. x = 20 ft:
    lb
    rad
    lb
  6. x = 25 ft:
    lb
    rad
    lb
  7. x = 30 ft:
    lb
    rad
    lb

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do trapézio em cada subintervalo:
  1. 0 ft a 2,5 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft
  2. 2,5 ft a 5 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft
  3. 5 ft a 15 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft
  4. 15 ft a 20 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft
  5. 20 ft a 25 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft
  6. 25 ft a 30 ft:
    Média lb
    ft
    Trabalho ≈ lb·ft

Passo 6

Somando todos os trabalhos aproximados:

Resposta

A melhor aproximação para o trabalho realizado ao puxar o bloco de 0 ft até 30 ft é aproximadamente 53,22 lb·ft.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites.
(f)
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
c-
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde é a região retangular de vértices e é uma partição de e é o centro de cada subregião. .
Calcule os seguintes limites.
(a)