O trabalho realizado por uma força
cujo ângulo entre a direç̧ão do movimento e a força é dado por
, pode ser obtido pela seguinte fórmula:
em que
e
são as posições inicial e final, respectivamente.
a- Calcule a melhor aproximação ao trabalho realizado, W , ao puxar um bloco da posição 0 ft até à posição 30 ft sabendo que a força aplicada e o ângulo usado são dados na tabela seguinte.
a- Calcule a melhor aproximação ao trabalho realizado, W , ao puxar um bloco da posição 0 ft até à posição 30 ft sabendo que a força aplicada e o ângulo usado são dados na tabela seguinte.
X | 0 | 2,5 | 5 | 15 | 20 | 25 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,0 | 7,0 | 9,0 | 14,0 | 10,5 | 12,0 | 5,0 |
|
0,5 | 0,9 | 1,4 | 0,9 | 1,3 | 1,48 | 1,5 |
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e o que precisamos para resolvê-la. A questão quer calcular o trabalho realizado,
, ao puxar um bloco da posição 0 ft até a posição 30 ft, usando uma força
e um ângulo
que variam com a posição
. Para isso, usaremos a fórmula do trabalho:
Precisamos usar conceitos de cálculo de integrais e física sobre trabalho realizado por uma força variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como aproximar essa integral. Como temos os valores de
e
em posições específicas, vamos usar a regra do trapézio para aproximar a integral. A regra do trapézio estima a integral como a soma das áreas de trapézios formados entre cada par de pontos adjacentes.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo de 0 ft a 30 ft em subintervalos conforme os pontos fornecidos:
- 0 ft a 2,5 ft
- 2,5 ft a 5 ft
- 5 ft a 15 ft
- 15 ft a 20 ft
- 20 ft a 25 ft
- 25 ft a 30 ft
Para cada subintervalo, calcularemos
nos extremos e aplicaremos a regra do trapézio.
Passo 4
Primeiro, calculamos
para cada ponto:
-
x = 0 ft:
lb
rad
-
x = 2,5 ft:
lb
rad
lb -
x = 5 ft:
lb
rad
lb -
x = 15 ft:
lb
rad
lb -
x = 20 ft:
lb
rad
lb -
x = 25 ft:
lb
rad
lb -
x = 30 ft:
lb
rad
lb
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do trapézio em cada subintervalo:
-
0 ft a 2,5 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft -
2,5 ft a 5 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft -
5 ft a 15 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft -
15 ft a 20 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft -
20 ft a 25 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft -
25 ft a 30 ft:
Médialb
ft
Trabalho ≈lb·ft
Passo 6
Somando todos os trabalhos aproximados:
Resposta
A melhor aproximação para o trabalho realizado ao puxar o bloco de 0 ft até 30 ft é aproximadamente 53,22 lb·ft.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites.
(f)
(f)
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de
.
c-
c-
Em cada caso, ache um valor aproximado da integral dupla, onde
é a região retangular de vértices
e
é uma partição de
e
é o centro de cada subregião.
.
Calcule os seguintes limites.
(a)
(a)