Calcule a integral de linha de F(x, y) = (2xy, -3xy) em torno do quadrado limitado pelas retas x=3, x=5, y=1 e y = 3 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao redor de um quadrado definido pelas retas , , e , seguindo o sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de linha e o Teorema de Green. A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada no sentido anti-horário é dada por:
O Teorema de Green nos diz que essa integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :

Passo 3

Vamos identificar e do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região . Nosso quadrado está limitado por e , e por e . Assim, os limites são:

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Calculando para :
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a :
Calculando para :
Para :
Subtraindo:

Passo 7

Portanto, a integral de linha do campo vetorial ao redor do quadrado dado no sentido anti-horário é igual a .

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (-y)/(x^2 + y^2), (x)/(x^2 + y^2) ao longo da circunferência x^2 + y^2 = 2 de 1,1 a (-raiz(2), 0), no sentido anti-horário.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (y^2, -x) ao longo da curva x = y^2 / 4 de (0,0) a 1,2.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=x^2+y^2 ; Q=-2 x y ; C é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral ointc P d x+Q d y.
P=y^2 ; Q=x y ; C é a elipse de equação 4 x^2+9 y^2=36.