Calcule a integral de linha de
em torno do quadrado limitado pelas retas
e
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao redor de um quadrado definido pelas retas
,
,
e
, seguindo o sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de linha e o Teorema de Green. A integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
no sentido anti-horário é dada por:
O Teorema de Green nos diz que essa integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Nosso quadrado está limitado por
e
, e por
e
. Assim, os limites são:
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar esse resultado em relação a
:
Calculando para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 7
Portanto, a integral de linha do campo vetorial
ao redor do quadrado dado no sentido anti-horário é igual a
.
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da circunferência
de
a
, no sentido anti-horário.
Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo da curva
de
a
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a fronteira do triângulo delimitado pelas retas
e
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a elipse de equação
.