Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
ao longo do arco do primeiro quadrante da circunferência
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de um campo vetorial
ao longo de uma curva específica: o arco do primeiro quadrante da circunferência
, indo do ponto
até
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. Isso envolve substituir a curva por uma parametrização e calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como estamos lidando com uma circunferência de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares.
A circunferência
pode ser parametrizada por:
onde
varia de
a
para abranger o primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o vetor diferencial
em termos de
. Derivando
e
em relação a
:
Então, o vetor diferencial fica:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na expressão do campo vetorial
:
Passo 5
A integral de linha
se torna:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo por termo:
-
Podemos usar substituição:Deixe
, então . A integral se torna: -
Usamos a identidade
: Avaliando: -
Usamos a identidade
: Avaliando:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das três integrais:
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo da curva indicada é
.
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Calcule a integral do campo vetorial
ao longo da reta
entre
e
.
Em cada caso, aplique o teorema de Green para calcular a integral
.
é a circunferência
.