Calcule as integrais do campo vetorial sobre as curvas indicadas:
F(x, y) = (x^2 - y^2, x) ao longo do arco do primeiro quadrante da circunferência x^2 + y^2 = 4 de 0,2 a 2,0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de um campo vetorial ao longo de uma curva específica: o arco do primeiro quadrante da circunferência , indo do ponto até .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral de linha em cálculo vetorial. Isso envolve substituir a curva por uma parametrização e calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. Como estamos lidando com uma circunferência de raio 2 no primeiro quadrante, podemos usar coordenadas polares.
A circunferência pode ser parametrizada por:
onde theta varia de 0 a pi / 2 para abranger o primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o vetor diferencial em termos de theta. Derivando x e y em relação a theta:
Então, o vetor diferencial fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir x e y na expressão do campo vetorial F(x, y):

Passo 5

A integral de linha se torna:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo por termo:
  1. Podemos usar substituição:
    Deixe , então .
    A integral se torna:
  2. Usamos a identidade :
    Avaliando:
  3. Usamos a identidade :
    Avaliando:

Passo 8

Agora, somamos os resultados das três integrais:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da curva indicada é .

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