x' = (3 9; -1 -3)x, x(0) = (2; 4)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, precisamos resolver esse sistema para encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial dada. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de sistemas lineares e métodos de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes, que é:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
Vamos multiplicar os termos:
Então, temos:
Nosso único autovalor é , com multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a . Para isso, resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando a primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:

Passo 5

Como temos um autovalor de multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado para completar a solução. Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Simplificando a primeira equação:
Escolhemos , então . Então, o vetor generalizado é:

Passo 6

Com os autovalores e os vetores (próprios e generalizados), a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que determinaremos usando a condição inicial.

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira:

Resposta

Portanto, a solução do sistema é:

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x' = (1 -4, 4 -7) x, x(0) = (3, 2)
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