Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares da forma:
Aqui, precisamos resolver esse sistema para encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial dada. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de sistemas lineares e métodos de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes, que é:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Vamos multiplicar os termos:
Então, temos:
Nosso único autovalor é , com multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a . Para isso, resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando a primeira equação:
Então, o autovetor pode ser escrito como:
Passo 5
Como temos um autovalor de multiplicidade 2, precisamos encontrar um vetor generalizado para completar a solução. Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
Simplificando a primeira equação:
Escolhemos , então . Então, o vetor generalizado é:
Passo 6
Com os autovalores e os vetores (próprios e generalizados), a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que determinaremos usando a condição inicial.
Passo 7
Aplicando a condição inicial :
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação, já sabemos que . Substituindo na primeira: