Determine um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços de R^3.
V=(x, y, z) ; x+z=0 e x-2 y=0;

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar um conjunto de vetores que geram o subespaço de . O problema nos dá as equações e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e vetores geradores.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações para encontrar as relações entre x + z = 0 x - 2y = 0 , e . As duas equações são:

Passo 3

Da segunda equação, podemos isolar x = 2y :

Passo 4

Agora, substituímos 2y + z = 0 implies z = -2y na primeira equação:

Passo 5

Assim, todas as componentes x = 2y y = y z = -2y , e podem ser expressas em função de :

Passo 6

Podemos fatorar (x, y, z) = y cdot (2, 1, -2) para escrever o vetor em termos de :

Passo 7

Isso mostra que qualquer vetor no subespaço é um múltiplo do vetor . Portanto, o conjunto de geradores de é formado por esse único vetor.

Resposta

Um conjunto de geradores para é .

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