Sejam a reta L determinada pelos pontos P=(1,0,0) e Q=(0,-1,-2), e o plano Pi definido por x-2 y-z+2=0.
Ache o ponto M, interseção de L com Pi;

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de geometria analítica aqui. A questão pede para encontrar o ponto onde a reta , que passa pelos pontos e , intercepta o plano definido pela equação . Vamos usar conceitos de equações paramétricas de retas e substituição em equações de planos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação paramétrica da reta v = Q - P = (0 - 1, -1 - 0, -2 - 0) = (-1, -1, -2) . Uma reta pode ser descrita por um ponto e um vetor diretor. Aqui, escolhemos o ponto x = 1 - t y = 0 - t z = 0 - 2t como ponto inicial. O vetor diretor pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de e :
Então, a equação paramétrica da reta é:
Onde é o parâmetro.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ponto x - 2y - z + 2 = 0 onde a reta (1 - t) - 2(-t) - (-2t) + 2 = 0 intercepta o plano . Para isso, substituímos as equações paramétricas de na equação do plano :
Substituindo , e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
1 - t + 2t + 2t + 2 = 0 1 + 3t + 2 = 0 3t + 3 = 0 3t = -3 t = -1

Passo 5

Agora que encontramos x = 1 - (-1) = 2 y = -(-1) = 1 z = -2(-1) = 2 , substituímos esse valor de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas de :

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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