Sejam as retas
Mostre que as retas
e
são paralelas e distintas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas retas,
e
, e precisamos mostrar que elas são paralelas e distintas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e vetores diretores. Primeiro, vamos entender as equações que definem cada reta e depois comparar os vetores diretores para verificar o paralelismo. Por fim, vamos confirmar que elas não coincidem, ou seja, são distintas.
Passo 2
Vamos começar entendendo melhor cada reta.
Reta
:
é definida pelo sistema de equações:
Para encontrar a forma paramétrica dessa reta, precisamos resolver esse sistema e expressar duas das variáveis em função de um parâmetro, geralmente
.
Reta
:
Já está diretamente na forma paramétrica:
Já
Aqui, o parâmetro
já está definido, e os coeficientes de
nos componentes da posição são os vetores diretores da reta.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor diretor de
.
Passo 3.1: Resolver o sistema para
.
Vamos resolver o sistema:
Podemos resolver isso usando métodos de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, expressamos
em termos de
usando a segunda equação:
Então, podemos escolher
como parâmetro.
Passo 3.2: Expressar as coordenadas de
em termos de
.
Com
, temos:
Então, a forma paramétrica de
é:
Vetor diretor de
: Os coeficientes de
são
.
Vetor diretor de
: Já está dado como
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os vetores diretores de
e
são proporcionais, ou seja, se existe um número real
tal que:
Vamos comparar componente a componente:
Como existe um
que relaciona os vetores diretores, isso significa que as duas retas são paralelas.
Para mostrar que são distintas, precisamos verificar se há algum ponto que pertence às duas retas. Se não houver, elas são distintas.
Vamos supor que existe um ponto
que está em
e
. Então, as coordenadas desse ponto devem satisfazer tanto a equação paramétrica de
quanto a de
.
Equações de
:
Equações de
:
Igualando as coordenadas:
Substituindo
na equação (1):
Isso é uma contradição, o que significa que não existe nenhum ponto comum às duas retas. Portanto, as retas são distintas.
Resposta
As retas
e
são paralelas e distintas.