Sejam as retas
L1:r 2 x+2 y-z-10=0 x-y-z-22=0 e L2: X=(-7+3 t, 5-t, 9+4 t), t in R
Mostre que as retas L1 e L2 são paralelas e distintas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas retas, e , e precisamos mostrar que elas são paralelas e distintas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e vetores diretores. Primeiro, vamos entender as equações que definem cada reta e depois comparar os vetores diretores para verificar o paralelismo. Por fim, vamos confirmar que elas não coincidem, ou seja, são distintas.

Passo 2

Vamos começar entendendo melhor cada reta.
Reta 2x + 2y - z - 10 = 0 x - y - z - 22 = 0 :
X(t) = (-7 + 3t, 5 - t, 9 + 4t), t in R é definida pelo sistema de equações:
Para encontrar a forma paramétrica dessa reta, precisamos resolver esse sistema e expressar duas das variáveis em função de um parâmetro, geralmente .
Reta :
está diretamente na forma paramétrica:
Aqui, o parâmetro já está definido, e os coeficientes de nos componentes da posição são os vetores diretores da reta.

Passo 3

Vamos encontrar o vetor diretor de 2x + 2y - z = 10 x - y - z = 22 .
Passo 3.1: Resolver o sistema para (2x + 2y - z) - (x - y - z) = 10 - 22 .
Vamos resolver o sistema:
2x + 2y - z - x + y + z = -12
Podemos resolver isso usando métodos de substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
x + 3y = -12 Rightarrow x = -12 - 3y
x - y - z = 22 (-12 - 3y) - y - z = 22 -12 - 4y - z = 22 -4y - z = 34 z = -4y - 34
x = -12 - 3t y = t z = -4t - 34
Agora, expressamos X(t) = (-12 - 3t, t, -34 - 4t) em termos de usando a segunda equação:
Então, podemos escolher como parâmetro.
Passo 3.2: Expressar as coordenadas de em termos de .
Com , temos:
Então, a forma paramétrica de é:
Vetor diretor de : Os coeficientes de são .
Vetor diretor de : Já está dado como .

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores diretores de (-3, 1, -4) = k cdot (3, -1, 4) e -3 = 3k Rightarrow k = -1 1 = -1 cdot (-1) = 1 checkmark -4 = 4 cdot (-1) = -4 checkmark são proporcionais, ou seja, se existe um número real x = -12 - 3t y = t z = -34 - 4t tal que:
x = -7 + 3s y = 5 - s z = 9 + 4s
Vamos comparar componente a componente:
-12 - 3t = -7 + 3s (1) t = 5 - s (2) -34 - 4t = 9 + 4s (3)
Como existe um -12 - 3(5 - s) = -7 + 3s -12 -15 + 3s = -7 + 3s -27 + 3s = -7 + 3s -27 = -7 que relaciona os vetores diretores, isso significa que as duas retas são paralelas.
Para mostrar que são distintas, precisamos verificar se há algum ponto que pertence às duas retas. Se não houver, elas são distintas.
Vamos supor que existe um ponto que está em e . Então, as coordenadas desse ponto devem satisfazer tanto a equação paramétrica de quanto a de .
Equações de :
Equações de :
Igualando as coordenadas:
Substituindo na equação (1):
Isso é uma contradição, o que significa que não existe nenhum ponto comum às duas retas. Portanto, as retas são distintas.

Resposta

As retas e são paralelas e distintas.

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