En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
no intervalo de
a
e encontrar um número
nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender como aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral definida
. A integral definida nos dá a área sob a curva da função
entre
e
.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais. Assim:
Passo 4
Calculando a primeira integral
:
A integral de uma constante
em relação a
é
. Portanto:
Passo 5
Agora, calculando a segunda integral
:
Primeiro, lembramos que
. Então:
A integral de
em relação a
é
. Aplicando isso:
Passo 6
Somando as integrais que calculamos:
Isso significa que substituímos
por
e depois por
, e subtraímos os resultados:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro,
:
Então:
Passo 8
Agora que temos a integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema nos diz que existe pelo menos um número
no intervalo
tal que:
Aqui,
e a integral já calculamos como
.
Passo 9
Substituindo os valores na equação do teorema:
Vamos resolver para
:
Resposta
A integral de
de
a
é
, e o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel
:
e)
e)
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Resolva no caderno as equaçōes exponenciais:
c)
c)