En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de no intervalo de a e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender como aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida . A integral definida nos dá a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais. Assim:

Passo 4

Calculando a primeira integral :
A integral de uma constante em relação a é . Portanto:

Passo 5

Agora, calculando a segunda integral :
Primeiro, lembramos que . Então:
A integral de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 6

Somando as integrais que calculamos:
Isso significa que substituímos por e depois por , e subtraímos os resultados:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, :
Então:

Passo 8

Agora que temos a integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema nos diz que existe pelo menos um número no intervalo tal que:
Aqui, e a integral já calculamos como .

Passo 9

Substituindo os valores na equação do teorema:
Vamos resolver para :

Resposta

A integral de de a é , e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
e)
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Resolva no caderno as equaçōes exponenciais:
c)