En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral1^4(2+3 cdot raizx) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de no intervalo de a e encontrar um número nesse intervalo que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e entender como aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral definida . A integral definida nos dá a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais. Assim:
integral (2 + 3 cdot raizx) , dx = integral 2 , dx + integral 3 cdot raizx , dx

Passo 4

Calculando a primeira integral integral 2 , dx = 2x :
A integral de uma constante em relação a é . Portanto:

Passo 5

Agora, calculando a segunda integral integral 3 cdot x^1/2 , dx = 3 cdot integral x^1/2 , dx :
Primeiro, lembramos que 3 cdot integral x^1/2 , dx = 3 cdot (x^3/23/2) = 3 cdot (23 x^3/2) = 2x^3/2 . Então:
A integral de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 6

Somando as integrais que calculamos:
integral1^4(2 + 3 cdot raizx) , dx = [2x + 2x^3/2]1^4
Isso significa que substituímos = (2 cdot 4 + 2 cdot 4^3/2) - (2 cdot 1 + 2 cdot 1^3/2) por e depois por , e subtraímos os resultados:

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, 4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8 :
= (8 + 2 cdot 8) - (2 + 2 cdot 1) = (8 + 16) - (2 + 2) = 24 - 4 = 20
Então:

Passo 8

Agora que temos a integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais. Esse teorema nos diz que existe pelo menos um número integral1^4 f(x) , dx = f(c) cdot (4 - 1) no intervalo tal que:
Aqui, e a integral já calculamos como .

Passo 9

Substituindo os valores na equação do teorema:
20 = (2 + 3 cdot raizc) cdot 3
Vamos resolver para 2 + 3 cdot raizc = 203 :
3 cdot raizc = 203 - 2 = 203 - 63 = 143
raizc = 149
c = (149)^2 = 19681 approx 2.42

Resposta

A integral de de a é , e o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse intervalo é aproximadamente .

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