En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral e achar um número
no intervalo de 0 a 3 que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. A gente vai precisar lembrar como calcular integrais e entender como o Teorema do Valor Médio funciona na prática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de
de 0 a 3. A integral definida nos dá a área sob a curva da função no intervalo especificado. A função aqui é
.
Passo 3
Para calcular
, encontramos a antiderivada de
. Sabemos que a antiderivada de
é
. Então, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 3:
Então, a integral vale 9.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, que diz que existe pelo menos um número
no intervalo
tal que:
Aqui,
,
e a integral já calculamos como 9.
Passo 6
Vamos substituir os valores na equação:
Como
, temos:
Passo 7
Resolvendo para
:
Portanto, o número
que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse caso é
, que está no intervalo de 0 a 3.
Resposta
A integral
vale 9, e o número
no intervalo [0, 3] satisfaz o Teorema do Valor Médio.
Exercícios relacionados
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel
:
g)
g)
Evalúe la integral definida:
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel
:
e)
e)
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: