En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral e achar um número no intervalo de 0 a 3 que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. A gente vai precisar lembrar como calcular integrais e entender como o Teorema do Valor Médio funciona na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de de 0 a 3. A integral definida nos dá a área sob a curva da função no intervalo especificado. A função aqui é .

Passo 3

Para calcular , encontramos a antiderivada de . Sabemos que a antiderivada de é . Então, a antiderivada de é .

Passo 4

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 3:
Então, a integral vale 9.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, que diz que existe pelo menos um número no intervalo tal que:
Aqui, , e a integral já calculamos como 9.

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
Como , temos:

Passo 7

Resolvendo para :
Portanto, o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse caso é , que está no intervalo de 0 a 3.

Resposta

A integral vale 9, e o número no intervalo [0, 3] satisfaz o Teorema do Valor Médio.

Exercícios relacionados

Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
g)
Evalúe la integral definida:
Resolva no caderno as seguintes equaçōes exponenciais na variàvel :
e)
En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: