En cada caso calcular la integral y encontrar un número c en el intervalo de integración que satisfaga el Teorema de Valor Medio: integral0^3 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral e achar um número no intervalo de 0 a 3 que satisfaça o Teorema do Valor Médio para integrais. A gente vai precisar lembrar como calcular integrais e entender como o Teorema do Valor Médio funciona na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de de 0 a 3. A integral definida nos dá a área sob a curva da função no intervalo especificado. A função aqui é .

Passo 3

Para calcular , encontramos a antiderivada de . Sabemos que a antiderivada de é . Então, a antiderivada de é .

Passo 4

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 0 a 3:
[ x^33 ]0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9
Então, a integral vale 9.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais, que diz que existe pelo menos um número integrala^b f(x) dx = f(c) cdot (b - a) no intervalo tal que:
Aqui, , e a integral já calculamos como 9.

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação:
9 = f(c) cdot (3 - 0) Rightarrow 9 = f(c) cdot 3
Como 9 = c^2 cdot 3 Rightarrow c^2 = 93 = 3 , temos:

Passo 7

Resolvendo para c = raiz3 :
Portanto, o número que satisfaz o Teorema do Valor Médio nesse caso é , que está no intervalo de 0 a 3.

Resposta

A integral vale 9, e o número no intervalo [0, 3] satisfaz o Teorema do Valor Médio.

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