Em cada caso, calcule a área da região
do plano
delimitada pelas curvas indicadas:
, ex
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região
no plano
que está delimitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a área entre duas curvas. A fórmula básica para a área
entre duas curvas
e
no intervalo de
até
é:
Aqui,
é a função que está por cima e
a que está por baixo no intervalo considerado.
Passo 3
No nosso caso, as curvas são
e
, e os limites de
são de
a
. Vamos verificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo.
Sabemos que
é sempre positiva e cresce exponencialmente. Já
oscila entre -1 e 1. Vamos testar alguns valores:
- Em
: e → - Em
: e → - Em
: e →
Portanto,
está sempre acima de
no intervalo de
a
.
Passo 4
Agora vamos montar a integral para calcular a área:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da região
delimitada pelas curvas é: