Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
y = e^x, y = sen(x), x = pi, ex =-pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que está delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a área entre duas curvas. A fórmula básica para a área entre duas curvas e no intervalo de até é:
Aqui, é a função que está por cima e a que está por baixo no intervalo considerado.

Passo 3

No nosso caso, as curvas são e , e os limites de são de a . Vamos verificar qual das duas funções está por cima nesse intervalo.
Sabemos que é sempre positiva e cresce exponencialmente. Já oscila entre -1 e 1. Vamos testar alguns valores:
  • Em : e
  • Em : e
  • Em : e
Portanto, está sempre acima de no intervalo de a .

Passo 4

Agora vamos montar a integral para calcular a área:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é:

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