Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
y = 0, x + y = 3a, y^2 = 4a x, a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região no plano que é delimitada pelas curvas , e , onde .
Aqui, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica para identificar onde essas curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas. Para isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas curvas duas a duas.
  1. Interseção entre e :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, o ponto de interseção é .
  2. Interseção entre e :
    Substituindo na terceira equação:
    Então, o ponto de interseção é .
  3. Interseção entre e :
    Da equação . Substituindo na terceira equação:
    Rearranjando:
    Resolvendo essa equação quadrática para :
    Assim, temos duas soluções:
    Como e estamos lidando com , consideramos . Substituindo na equação :
    Então, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos entender como as curvas se posicionam no plano para definir a região .
A curva é o eixo . A reta é uma linha reta que intercepta os eixos em e . A parábola abre para a direita e passa pelo ponto e .
A região está delimitada por essas curvas, formando uma espécie de “triângulo” curvo. Para calcular a área, podemos integrar a diferença entre a função superior e a inferior em relação a ou . Vamos optar por integrar em relação a , já que a parábola está expressa em termos de .

Passo 4

Vamos expressar em termos de para as duas curvas que limitam a região:
  1. Da reta :
  2. Da parábola :
A área da região é então a integral da diferença entre essas duas funções de desde até :
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Agora, somando tudo:

Resposta

A área da região é .

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