Em cada caso, calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a área da região no plano que é delimitada pelas curvas , e , onde .
Aqui, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica para identificar onde essas curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas. Para isso, vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas. Para isso, vamos resolver o sistema de equações formado pelas curvas duas a duas.
Interseção entre e :
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção entre e :
Substituindo na terceira equação:
Então, o ponto de interseção é .
Interseção entre e :
Da equação . Substituindo na terceira equação:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Assim, temos duas soluções:
Como e estamos lidando com , consideramos . Substituindo na equação :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção: , e , vamos entender como as curvas se posicionam no plano para definir a região .
A curva é o eixo . A reta é uma linha reta que intercepta os eixos em e . A parábola abre para a direita e passa pelo ponto e .
A região está delimitada por essas curvas, formando uma espécie de “triângulo” curvo. Para calcular a área, podemos integrar a diferença entre a função superior e a inferior em relação a ou . Vamos optar por integrar em relação a , já que a parábola está expressa em termos de .
Passo 4
Vamos expressar em termos de para as duas curvas que limitam a região:
Da reta :
Da parábola :
A área da região é então a integral da diferença entre essas duas funções de desde até :
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: