Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) no ponto ;
(f) ;
(g) ;
(h) ; e a reta tangente a esta curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício: calcular a área da região delimitada pelas curvas e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de áreas entre curvas, que envolve integração. Também vamos precisar encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam para definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas e . Para isso, igualamos as duas equações:
Levantando todos os termos para um lado da equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de onde as curvas se intersectam. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, para a equação , temos , e . Substituindo:
Então, os pontos de interseção são:

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, sabemos que esses serão os limites de integração para calcular a área entre as curvas. Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo para montar a integral corretamente.
Observando as funções (uma reta) e (uma parábola que abre para cima), percebemos que, entre os pontos de interseção, a reta está acima da parábola .

Passo 5

Agora, montamos a integral que representa a área entre as duas curvas. A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
Á
Aplicando isso às nossas funções:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Então, a integral resolvida fica:
Á

Passo 7

Finalmente, substituímos os limites de integração na expressão acima e calculamos a diferença para encontrar a área. Após simplificar os cálculos, obtemos o valor da área delimitada pelas curvas.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente 1,618 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso: , em ;
Determine uma primitiva da função.
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). no ponto ;
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .