Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que decidir se certas afirmações sobre a área delimitada pelo gráfico da função , a reta , o eixo e o eixo são verdadeiras ou falsas. Além disso, precisamos comparar essa área com o valor da integral definida . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas usando integrais e interpretar geometria no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região mencionada. A função é uma reta que corta o eixo no ponto e o eixo no ponto . A reta é uma linha vertical que cruza o eixo no ponto . O eixo é o e o eixo é o .

Passo 3

Para encontrar a área da região limitada por essas curvas, podemos usar a integral definida da função no intervalo de a . A integral representa exatamente essa área, levando em conta que a função está abaixo do eixo entre e , e acima entre e .

Passo 4

Vamos calcular a integral para encontrar o valor da área:
Primeiro, encontramos a antiderivada de , que é .
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 4:

Passo 5

O resultado da integral é 0, o que indica que a área acima do eixo entre e é igual à área abaixo do eixo entre e . Portanto, a integral não representa a área total da região, mas sim a diferença líquida entre as áreas acima e abaixo do eixo .

Resposta

A afirmação de que a integral representa a área da região limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo é falsa.

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Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). no ponto ;
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) no ponto ;
(f) ;
(g) ;
(h) ; e a reta tangente a esta curva
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para e a seguinte soma de integrais:
Determine uma primitiva da função.
30.