Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que decidir se certas afirmações sobre a área delimitada pelo gráfico da função
, a reta
, o eixo
e o eixo
são verdadeiras ou falsas. Além disso, precisamos comparar essa área com o valor da integral definida
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular áreas usando integrais e interpretar geometria no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região mencionada. A função
é uma reta que corta o eixo
no ponto
e o eixo
no ponto
. A reta
é uma linha vertical que cruza o eixo
no ponto
. O eixo
é o
e o eixo
é o
.
Passo 3
Para encontrar a área da região limitada por essas curvas, podemos usar a integral definida da função
no intervalo de
a
. A integral
representa exatamente essa área, levando em conta que a função está abaixo do eixo
entre
e
, e acima entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular a integral para encontrar o valor da área:
Primeiro, encontramos a antiderivada de
, que é
.
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de 0 a 4:
Passo 5
O resultado da integral é 0, o que indica que a área acima do eixo
entre
e
é igual à área abaixo do eixo
entre
e
. Portanto, a integral
não representa a área total da região, mas sim a diferença líquida entre as áreas acima e abaixo do eixo
.
Resposta
A afirmação de que a integral
representa a área da região limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
é falsa.
Exercícios relacionados
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
no ponto
;
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) no ponto
;
(f) ;
(g) ;
(h) ; e a reta tangente a esta curva
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais:
Determine uma primitiva da função.
30.
30.