Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). no ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a área da região delimitada pelas curvas , , e no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar analisar os gráficos dessas funções, encontrar os pontos de interseção e configurar a integral adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
  1. : Essa é a função raiz quadrada de x, definida para . Ela representa uma curva que começa no ponto (0,0) e sobe suavemente para a direita.
  2. : Esta é uma reta com inclinação 1 e interceptação em y = -2. Ela cruza o eixo y no ponto (0, -2).
  3. : Esta é a linha vertical que representa o eixo y.

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites de integração.
Igualando :
Vamos resolver essa equação:
Para facilitar, substituímos por , onde , então :
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, ou . Como , descartamos . Portanto, e .
Então, as curvas se intersectam em .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos considerando a região entre e , precisamos integrar a diferença entre as funções que formam o topo e a base dessa região.
Na faixa de a :
  • Curva de cima:
  • Curva de baixo:

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas de a é:
Onde é a função de cima e a de baixo.
Aplicando isso às nossas funções:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Avalie a antiderivada nos limites de 4 e 0:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, subtraia os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) no ponto ;
(f) ;
(g) ;
(h) ; e a reta tangente a esta curva
Calcule a área delimitada pela curva e o eixo no intervalo indicado em cada caso: , em ;
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para e a seguinte soma de integrais: