Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a área da região delimitada pelas curvas
,
, e
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo, especificamente a integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar analisar os gráficos dessas funções, encontrar os pontos de interseção e configurar a integral adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas:
-
: Essa é a função raiz quadrada de x, definida para . Ela representa uma curva que começa no ponto (0,0) e sobe suavemente para a direita. -
: Esta é uma reta com inclinação 1 e interceptação em y = -2. Ela cruza o eixo y no ponto (0, -2). -
: Esta é a linha vertical que representa o eixo y.
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites de integração.
Igualando
:
Vamos resolver essa equação:
Para facilitar, substituímos
por
, onde
, então
:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim,
ou
. Como
, descartamos
. Portanto,
e
.
Então, as curvas se intersectam em
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos considerando a região entre
e
, precisamos integrar a diferença entre as funções que formam o topo e a base dessa região.
Na faixa de
a
:
- Curva de cima:
- Curva de baixo:
Passo 5
A fórmula para a área
entre duas curvas de
a
é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo.
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Avalie a antiderivada nos limites de 4 e 0:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, subtraia os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) no ponto
;
(f) ;
(g) ;
(h) ; e a reta tangente a esta curva
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Calcule a área delimitada pela curva
e o eixo
no intervalo indicado em cada caso:
, em
;
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais: