Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
e o eixo
para
e a seguinte soma de integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma determinada soma de integrais realmente representa a área da região limitada pelo gráfico da função
e o eixo
, nesse intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é uma parábola que abre pra cima e cruza o eixo
nos pontos onde
. Resolvendo
, temos
e
. Isso significa que a parábola está abaixo do eixo
entre
e
, e acima do eixo entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a soma de integrais dada:
O sinal negativo na primeira integral serve para transformar a área abaixo do eixo
em uma área positiva, já que, por padrão, a integral de uma função que está abaixo do eixo é negativa.
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de
a
:
Calculando
, temos
, e
. Avaliando de
a
:
Agora, a integral de
a
:
Passo 5
Agora, somamos os resultados das integrais:
Então, a soma das integrais é igual a 8, que representa a área da região limitada pelo gráfico de
e o eixo
no intervalo de
a
.
Resposta
A soma das integrais é igual a 8, confirmando que a expressão representa a área da região limitada pelo gráfico de
e o eixo
no intervalo de
.
Exercícios relacionados
Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de
, a reta
, o eixo
e o eixo
e a seguinte integral:
.
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos).
no ponto
;
Determine uma primitiva da função.
30.
30.
Determine uma primitiva da função.