Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de f(x)=x^2-1 e o eixo x para -1 <= x <= 3 e a seguinte soma de integrais:
-integral-1^1(x^2-1) d x+integral1^3(x^2-1) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma determinada soma de integrais realmente representa a área da região limitada pelo gráfico da função e o eixo , nesse intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma parábola que abre pra cima e cruza o eixo nos pontos onde . Resolvendo , temos e . Isso significa que a parábola está abaixo do eixo entre e , e acima do eixo entre e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma de integrais dada:
-integral-1^1(x^2-1) dx + integral1^3(x^2-1) dx
O sinal negativo na primeira integral serve para transformar a área abaixo do eixo em uma área positiva, já que, por padrão, a integral de uma função que está abaixo do eixo é negativa.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de -integral-1^1(x^2-1) dx = -[ integral-1^1 x^2 dx - integral-1^1 1 dx ] a -[ (1^33 - (-1)^33) - (1 - (-1)) ] = -[ (13 + 13) - 2 ] = -[ 23 - 2 ] = -( -43 ) = 43 :
integral1^3(x^2-1) dx = [ x^33 - x ]1^3 = ( 273 - 3 ) - ( 13 - 1 ) = (9 - 3) - ( 13 - 1 ) = 6 - ( -23 ) = 6 + 23 = 203
Calculando , temos , e . Avaliando de a :
Agora, a integral de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais:
43 + 203 = 243 = 8
Então, a soma das integrais é igual a 8, que representa a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo no intervalo de a .

Resposta

A soma das integrais é igual a 8, confirmando que a expressão representa a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo no intervalo de .

Exercícios relacionados