Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de e o eixo para e a seguinte soma de integrais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma determinada soma de integrais realmente representa a área da região limitada pelo gráfico da função e o eixo , nesse intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é uma parábola que abre pra cima e cruza o eixo nos pontos onde . Resolvendo , temos e . Isso significa que a parábola está abaixo do eixo entre e , e acima do eixo entre e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a soma de integrais dada:
O sinal negativo na primeira integral serve para transformar a área abaixo do eixo em uma área positiva, já que, por padrão, a integral de uma função que está abaixo do eixo é negativa.

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de a :
Calculando , temos , e . Avaliando de a :
Agora, a integral de a :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das integrais:
Então, a soma das integrais é igual a 8, que representa a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo no intervalo de a .

Resposta

A soma das integrais é igual a 8, confirmando que a expressão representa a área da região limitada pelo gráfico de e o eixo no intervalo de .

Exercícios relacionados

Decida sobre a verdade ou falsidade das seguintes afirmações: A área da região do plano limitada pelo gráfico de , a reta , o eixo e o eixo e a seguinte integral: .
Em cada caso, calcule a área da região delimitada pelas curvas (sugestão: faça os gráficos). no ponto ;
Determine uma primitiva da função.
30.
Determine uma primitiva da função.