(1) Em cada caso, calcule a derivada da função f(x) dada.
f(x)=(ln x + 1/5^x)^9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Para isso, precisamos lembrar como derivar logaritmos e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função é uma potência, ou seja, algo elevado a 9. Então, nossa função externa é onde , que é a função interna. Vamos usar a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a . Se , então a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna em relação a .
  1. A derivada de é .
  2. Para derivar , podemos reescrever como . A derivada de é .
Então, a derivada da função interna é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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