(1) Em cada caso, calcule a derivada da função
dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
. Aqui, vamos usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Para isso, precisamos lembrar como derivar logaritmos e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos derivar. A função
é uma potência, ou seja, algo elevado a 9. Então, nossa função externa é
onde
, que é a função interna. Vamos usar a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos derivar a função externa em relação a
. Se
, então a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos derivar a função interna
em relação a
.
- A derivada de
é . - Para derivar
, podemos reescrever como . A derivada de é .
Então, a derivada da função interna é:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: