(3) Determine a equação da reta tangente à curva de equação no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Aqui, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, porque a equação da curva não está isolando de forma fácil.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa achar a derivada de em relação a , ou seja, , na curva dada. Como a equação está com e misturados, vamos usar a derivada implícita.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Isso dá:
Passo 4
Agora, vamos isolar . Movemos o termo para o outro lado:
Fatorando :
Passo 5
Então, a derivada é:
Passo 6
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto para encontrar o valor da derivada nesse ponto:
Passo 7
Com a inclinação e o ponto , usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação: