(3) Determine a equação da reta tangente à curva de equação x^3 + y^5 = 6y + 3 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Aqui, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, porque a equação da curva não está isolando de forma fácil.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar a derivada de em relação a , ou seja, , na curva dada. Como a equação está com e misturados, vamos usar a derivada implícita.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a :
Isso dá:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Movemos o termo para o outro lado:
Fatorando :

Passo 5

Então, a derivada é:

Passo 6

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto para encontrar o valor da derivada nesse ponto:

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , usamos a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo:

Passo 8

Simplificando a equação:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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