(2) Em cada caso, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto do gráfico de coordenada
dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto no gráfico da função quando
. Para isso, substituímos
por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar
.
Para derivar uma função do tipo
, usamos a regra do quociente:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
:
Aplicando na regra do quociente:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é 3.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.