(2) Em cada caso, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto do gráfico de coordenada x dada.
f(x) = 12 x / (x + 1), x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto no gráfico da função quando . Para isso, substituímos por 1 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente nesse ponto. Vamos derivar .
Para derivar uma função do tipo , usamos a regra do quociente:
Aqui, e . Vamos derivar e :
Aplicando na regra do quociente:

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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