Em cada caso, calcule as derivadas z_x, z_y, z_xx, z_yy e zyx.
(f) z = arccos(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar as derivadas parciais de . Aqui a gente vai mexer com derivadas de funções trigonométricas e multiplicação de variáveis. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar o arco cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A função é , onde . A derivada do arco cosseno é:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usando o mesmo raciocínio:

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada parcial . Isso é a derivada de em relação a :
Aplicamos a regra da derivada para funções do tipo :

Passo 5

Agora, vamos para , a segunda derivada parcial de em relação a . Começamos com:
Derivando em relação a :

Passo 6

Por último, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Temos:
Derivando em relação a :
Simplificando:

Resposta

As derivadas são:

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