Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde a gente precisa encontrar as derivadas parciais de
. Aqui a gente vai mexer com derivadas de funções trigonométricas e multiplicação de variáveis. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar o arco cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A função é
, onde
. A derivada do arco cosseno é:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usando o mesmo raciocínio:
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada parcial
. Isso é a derivada de
em relação a
:
Aplicamos a regra da derivada para funções do tipo
:
Passo 5
Agora, vamos para
, a segunda derivada parcial de
em relação a
. Começamos com:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Por último, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Temos:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas são: