Determinar o trabalho realizado pela força conseryativa
nos : seguintes deslocamentos:
a) ao longo da elipse
, no sentido anti-horário, do ponto
ao
;
b) ao longo do arco de parábola
, do ponto
ao ponto
.
a) ao longo da elipse
b) ao longo do arco de parábola
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o trabalho realizado por uma força conservativa, dada por
, ao longo de dois trajetos diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos de força conservativos e como encontrar a função potencial associada a essa força. Vamos focar em encontrar essa função potencial e usar as propriedades das forças conservativas para calcular o trabalho sem precisar detalhar todo o caminho.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma força é conservativa se existir uma função potencial
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso significa que:
Vamos integrar essas equações para encontrar
.
Passo 3
Integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Então,
, o que significa que
não depende de
, apenas de
. Portanto:
Passo 5
Usando a terceira equação para encontrar
:
Isso implica que:
Onde
é uma constante, que podemos considerar como zero para simplificação.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função potencial é:
Com essa função, podemos calcular o trabalho realizado pela força conservativa entre dois pontos
e
usando:
Passo 7
Vamos calcular o trabalho para cada parte do exercício.
Parte a)
O caminho está no plano
, então
.
Função potencial:
Portanto,
e
.
Passo 8
Calculando o trabalho:
Resposta
a) O trabalho realizado pela força ao longo da elipse é
.