Determinar o trabalho realizado pela força conseryativa vec(f) = (y*z, x*z, x*y + 1) nos : seguintes deslocamentos:
a) ao longo da elipse x^2 + y^2 / 4 = 9, no sentido anti-horário, do ponto A(3,0) ao B(0,6);
b) ao longo do arco de parábola x = y^2 - 1, z = 2, do ponto A(-1, 0, 2) ao ponto B(3, -2, 2).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o trabalho realizado por uma força conservativa, dada por , ao longo de dois trajetos diferentes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos de força conservativos e como encontrar a função potencial associada a essa força. Vamos focar em encontrar essa função potencial e usar as propriedades das forças conservativas para calcular o trabalho sem precisar detalhar todo o caminho.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma força é conservativa se existir uma função potencial tal que , onde é o gradiente de . Isso significa que:
Vamos integrar essas equações para encontrar .

Passo 3

Integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que pode depender de e .

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Então, , o que significa que não depende de , apenas de . Portanto:

Passo 5

Usando a terceira equação para encontrar :
Isso implica que:
Onde é uma constante, que podemos considerar como zero para simplificação.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função potencial é:
Com essa função, podemos calcular o trabalho realizado pela força conservativa entre dois pontos e usando:

Passo 7

Vamos calcular o trabalho para cada parte do exercício.

Parte a)

O caminho está no plano , então .
Função potencial:
Portanto, e .

Passo 8

Calculando o trabalho:

Resposta

a) O trabalho realizado pela força ao longo da elipse é .

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