Em cada caso, calcule a derivada parcial indicada. f(x, y, z) = 2xy(1 - 3xz)^{2}, fy, fy, fz

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas parciais , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo de derivadas parciais, que nos permitem derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos e como constantes.
A função é:
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes.
Derivando:
Não há mais termos com , então essa é a derivada.

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial em relação a , ou seja, . Mantemos e constantes.
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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