Calcule, se existir, o limite de:
lim (x, y) (1,0) (x-1) yraiz(x-1)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando lim (x, y) (1,0) (x-1) yraiz(x-1)^2+y^2 se aproxima de . A função que estamos vendo é:
Estamos lidando com limites multivariáveis, o que significa que temos que considerar como a função se comporta quando chegamos ao ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para o limite existir em duas variáveis, ele precisa ser o mesmo não importa o caminho que a gente escolha para chegar ao ponto . Se a gente encontrar, por exemplo, dois caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos comuns para ver o que acontece:
Caminho 1: Alongando o eixo (x-1) cdot 0raiz(x-1)^2+0^2 = 0 (isto é, y = 0)
Se (1-1) cdot yraiz(1-1)^2+y^2 = 0 , a função fica:
(x-1) cdot k(x-1)raiz(x-1)^2 + [k(x-1)]^2 = k(x-1)^2raiz(x-1)^2 (1 + k^2) = k(x-1)^2|x-1| raiz1 + k^2
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Caminho 2: Alongando o eixo k|x-1|raiz1 + k^2 cdot (x-1)|x-1| = k(x-1)raiz1 + k^2 (isto é, x = 1)
Se , a função fica:
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3: Caminho diagonal
Vamos escolher , onde é uma constante. Substituindo na função:
Simplificando:
Quando , , então o limite ao longo desse caminho também é 0.

Passo 4

Vamos tentar um caminho diferente para ver se conseguimos um resultado diferente. Vamos usar polar coordenadas, onde (1 + r cos theta -1) cdot r sin thetaraiz(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r cos theta cdot r sin thetaraizr^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = r^2 cos theta sin thetar = r cos theta sin theta e 0 cdot cos theta sin theta = 0 , com .
Substituindo na função:
Agora, quando , o limite é:

Passo 5

Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite igual a 0. Isso sugere que o limite possa realmente ser 0. Porém, para termos certeza, precisamos garantir que não existe nenhum caminho que dê um limite diferente.

Passo 6

Assumindo que todos os caminhos dão o mesmo resultado, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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