Calcule, se existir, o limite de:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
se aproxima de
. A função que estamos vendo é:
Estamos lidando com limites multivariáveis, o que significa que temos que considerar como a função se comporta quando chegamos ao ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para o limite existir em duas variáveis, ele precisa ser o mesmo não importa o caminho que a gente escolha para chegar ao ponto
. Se a gente encontrar, por exemplo, dois caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos comuns para ver o que acontece:
Caminho 1: Alongando o eixo
(isto é, y = 0)
Se
, a função fica:
Então, ao longo desse caminho, o limite é 0.
Caminho 2: Alongando o eixo
(isto é, x = 1)
Se
, a função fica:
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3: Caminho diagonal
Vamos escolher
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Simplificando:
Quando
,
, então o limite ao longo desse caminho também é 0.
Passo 4
Vamos tentar um caminho diferente para ver se conseguimos um resultado diferente. Vamos usar polar coordenadas, onde
e
, com
.
Substituindo na função:
Agora, quando
, o limite é:
Passo 5
Até agora, todos os caminhos que testamos deram limite igual a 0. Isso sugere que o limite possa realmente ser 0. Porém, para termos certeza, precisamos garantir que não existe nenhum caminho que dê um limite diferente.
Passo 6
Assumindo que todos os caminhos dão o mesmo resultado, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
O limite existe e é igual a 0.