Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, o problema nos dá a função
e pede para calcularmos as derivadas parciais
,
,
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é a derivada de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como estamos derivando em relação a
, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é 0, pois
é uma constante quando consideramos
como variável.
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A derivada de
em relação a
é 0, já que
é constante, e a derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Já que
, vamos derivar isso em relação a
.
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Sabemos que
, então derivamos isso em relação a
.
Então,
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Sabemos que
. Como
é independente de
, ao derivarmos em relação a
, obtemos 0.
Então,
Resposta
As derivadas solicitadas são:
Exercícios relacionados
Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
. Para isso:
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Considere a função
Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
Considere a função
Calcule o limite
ou mostre que esse limite não existe.