Em cada caso, calcule as derivadas z_x, z_y, z_xx, z_yy e zyx.
(a) z = 3 x^2 + y^3

Passo 1

Beleza, o problema nos dá a função e pede para calcularmos as derivadas parciais , , , e . Para isso, vamos usar o conceito de derivada parcial, que é a derivada de uma função em relação a uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como estamos derivando em relação a , tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é 0, pois é uma constante quando consideramos como variável.
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
A derivada de em relação a é 0, já que é constante, e a derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Já que , vamos derivar isso em relação a .
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Sabemos que , então derivamos isso em relação a .
Então,

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada mista , que é a derivada de em relação a .
Sabemos que . Como é independente de , ao derivarmos em relação a , obtemos 0.
Então,

Resposta

As derivadas solicitadas são:

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