Considere a função
f(x, y)=cc x^3+x y^4x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 4, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar a continuidade da função f(x, y)=cc x^3+x y^4x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 4, & se (x, y)=(0,0) no ponto . A função é definida por:
Para verificar a continuidade em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto. Utilizaremos conceitos de limites em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) x^3+x y^4x^2+y^4 quando tende a . Ou seja, queremos encontrar:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos um caminho que nos dá um limite diferente, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro Caminho: f(x, 0) = x^3 + x cdot 0^4x^2 + 0^4 = x^3x^2 = x
Substituindo limx to 0 x = 0 na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Passo 5

Segundo Caminho: f(0, y) = 0^3 + 0 cdot y^40^2 + y^4 = 0y^4 = 0
Substituindo limy to 0 0 = 0 na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Passo 6

Terceiro Caminho: f(x, x) = x^3 + x cdot x^4x^2 + x^4 = x^3 + x^5x^2 + x^4 = x^3(1 + x^2)x^2(1 + x^2) = x onde limx to 0 x = 0 é um número real
Vamos escolher, por exemplo, , ou seja, . Substituindo na função:
Calculando o limite quando tende a 0:

Passo 7

Quarto Caminho: f(x, raizx) = x^3 + x cdot (raizx)^4x^2 + (raizx)^4 = x^3 + x cdot x^2x^2 + x^2 = x^3 + x^32x^2 = 2x^32x^2 = x
Substituindo limx to 0 x = 0 na função:
Calculando o limite quando tende a 0:

Passo 8

Observamos que, para todos os caminhos testados, o limite da função quando tende a é 0.

Passo 9

Agora, comparando com o valor de lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 neq 4 = f(0,0) , vemos que:

Resposta

A função não é contínua em , pois o limite quando tende a é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 4.

Exercícios relacionados