Considere a função
é contínua em ? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar a continuidade da função no ponto . A função é definida por:
Para verificar a continuidade em , precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto. Utilizaremos conceitos de limites em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando tende a . Ou seja, queremos encontrar:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos um caminho que nos dá um limite diferente, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Primeiro Caminho:
Substituindo na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Passo 5

Segundo Caminho:
Substituindo na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Passo 6

Terceiro Caminho: onde é um número real
Vamos escolher, por exemplo, , ou seja, . Substituindo na função:
Calculando o limite quando tende a 0:

Passo 7

Quarto Caminho:
Substituindo na função:
Calculando o limite quando tende a 0:

Passo 8

Observamos que, para todos os caminhos testados, o limite da função quando tende a é 0.

Passo 9

Agora, comparando com o valor de , vemos que:

Resposta

A função não é contínua em , pois o limite quando tende a é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 4.

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(a)