Considere a função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar a continuidade da função
no ponto
. A função é definida por:
Para verificar a continuidade em
, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto. Utilizaremos conceitos de limites em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
tende a
. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos um caminho que nos dá um limite diferente, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Primeiro Caminho:
Substituindo
na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Passo 5
Segundo Caminho:
Substituindo
na função, temos:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Passo 6
Terceiro Caminho:
onde
é um número real
Vamos escolher, por exemplo,
, ou seja,
. Substituindo na função:
Calculando o limite quando
tende a 0:
Passo 7
Quarto Caminho:
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Observamos que, para todos os caminhos testados, o limite da função
quando
tende a
é 0.
Passo 9
Agora, comparando com o valor de
, vemos que:
Resposta
A função
não é contínua em
, pois o limite quando
tende a
é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é 4.
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. Para isso:
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(a)
(a)