Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas . Para isso:
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima da região no plano delimitada pelas curvas e . A gente vai usar integrais triplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A superfície pode ser reescrita como . Então, varia de 0 (no plano ) até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para e . As curvas e se interceptam quando , ou seja, e . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 4
Com tudo isso, a integral tripla fica assim:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar em relação a :
Calculando isso:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a :
Ao calcular essa integral, percebemos que os termos ímpares ( e ) se anulam devido à simetria do intervalo. Assim, ficamos com: