Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas . Para isso:
(2,0 pontos) Escreva uma integral que fornece o volume desse sólido e calcule-a.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está abaixo da superfície e acima da região no plano delimitada pelas curvas e . A gente vai usar integrais triplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. A superfície pode ser reescrita como . Então, varia de 0 (no plano ) até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para e . As curvas e se interceptam quando , ou seja, e . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .

Passo 4

Com tudo isso, a integral tripla fica assim:
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Então, a integral simplifica para:

Passo 5

Vamos integrar em relação a :
Calculando isso:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Ao calcular essa integral, percebemos que os termos ímpares ( e ) se anulam devido à simetria do intervalo. Assim, ficamos com:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Considere a função
é contínua em ? Justifique.
Encontre o triedro móvel e a curvatura em um ponto qualquer da curva
Em cada caso, calcule as derivadas e .
(a)
Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos: