Considere a função
f(x, y)=cc x^3+x y^4x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 4, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites de funções de duas variáveis. A gente tem a função:
f(x, y)=cc x^3+x y^4x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 4, & se (x, y)=(0,0)
O objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de , ou mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando tende a . Basicamente, queremos ver se, conforme e ficam cada vez menores e se aproximam de zero, o valor de se aproxima de algum número específico.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se obtivermos o mesmo resultado para todos os caminhos, é provável que o limite exista e seja igual a esse valor. Porém, se os limites forem diferentes para caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo f(x, 0) = x^3 + x cdot 0^4x^2 + 0^4 = x^3x^2 = x , ou seja, quando limx to 0 x = 0 . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 5

Vamos agora calcular o limite ao longo do eixo f(0, y) = 0^3 + 0 cdot y^40^2 + y^4 = 0y^4 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Agora, vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, f(x, x^k) = x^3 + x cdot (x^k)^4x^2 + (x^k)^4 = x^3 + x cdot x^4kx^2 + x^4k = x^3 + x^4k+1x^2 + x^4k , onde f(x, x^k) = x^1 + x^4k -11 + x^4k -2 é uma constante que vamos determinar. Vamos substituir f(x, x^1/4) = x + x^21 + x^0 = x + x^22 na função:
Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Agora, vamos analisar o comportamento quando tende a 0, dependendo do valor de :
  • Se e , ou seja, se e , então os termos e vão para 0, e o denominador vai para 1. Então, o limite é 0.
  • Se , temos:
E o limite quando tende a 0 é 0.
  • Se , então , e o denominador tende a infinito, fazendo com que o limite seja 0.
Em todos os casos, o limite ao longo do caminho é 0.

Passo 7

Até agora, vimos que ao longo de diferentes caminhos, o limite sempre foi 0. Mas para termos certeza, vamos usar a coordenada polar, que é uma ferramenta poderosa para analisar limites em duas variáveis.
Na coordenada polar, temos f(r cos(theta), r sin(theta)) = (r cos(theta))^3 + (r cos(theta))(r sin(theta))^4(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^4 e = r^3 cos^3(theta) + r cos(theta) cdot r^4 sin^4(theta)r^2 cos^2(theta) + r^4 sin^4(theta) = r^3 cos^3(theta) + r^5 cos(theta) sin^4(theta)r^2 cos^2(theta) + r^4 sin^4(theta) , onde = r^3 cos^3(theta) + r^5 cos(theta) sin^4(theta)r^2 (cos^2(theta) + r^2 sin^4(theta)) é a distância até a origem e = r cos^3(theta) + r^3 cos(theta) sin^4(theta)cos^2(theta) + r^2 sin^4(theta) é o ângulo.
Substituindo na função:
limr to 0 0cos^2(theta) = 0
Vamos simplificar isso:
Agora, fatoramos no denominador:
Simplificando, dividindo numerador e denominador por :
Agora, ao deixar tendendo a 0:
  • O numerador tende a 0, porque ambos os termos têm .
  • O denominador tende a , que é um valor finito.
Portanto, o limite geral é:

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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