Considere a função
Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites de funções de duas variáveis. A gente tem a função:
O objetivo é calcular o limite de quando se aproxima de , ou mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar até .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando tende a . Basicamente, queremos ver se, conforme e ficam cada vez menores e se aproximam de zero, o valor de se aproxima de algum número específico.

Passo 3

Uma maneira prática de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a . Se obtivermos o mesmo resultado para todos os caminhos, é provável que o limite exista e seja igual a esse valor. Porém, se os limites forem diferentes para caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando tende a 0:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 5

Vamos agora calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 6

Agora, vamos tentar um caminho diferente, por exemplo, , onde é uma constante que vamos determinar. Vamos substituir na função:
Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por :
Agora, vamos analisar o comportamento quando tende a 0, dependendo do valor de :
  • Se e , ou seja, se e , então os termos e vão para 0, e o denominador vai para 1. Então, o limite é 0.
  • Se , temos:
E o limite quando tende a 0 é 0.
  • Se , então , e o denominador tende a infinito, fazendo com que o limite seja 0.
Em todos os casos, o limite ao longo do caminho é 0.

Passo 7

Até agora, vimos que ao longo de diferentes caminhos, o limite sempre foi 0. Mas para termos certeza, vamos usar a coordenada polar, que é uma ferramenta poderosa para analisar limites em duas variáveis.
Na coordenada polar, temos e , onde é a distância até a origem e é o ângulo.
Substituindo na função:
Vamos simplificar isso:
Agora, fatoramos no denominador:
Simplificando, dividindo numerador e denominador por :
Agora, ao deixar tendendo a 0:
  • O numerador tende a 0, porque ambos os termos têm .
  • O denominador tende a , que é um valor finito.
Portanto, o limite geral é:

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
Em cada caso, calcule as derivadas e .
(a)
Em cada caso, calcule as derivadas e .
(b)
Faça o esboço da função em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os valores extremos de .