Considere a função
Calcule o limite
ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de limites de funções de duas variáveis. A gente tem a função:
O objetivo é calcular o limite de
quando
se aproxima de
, ou mostrar que esse limite não existe. Para isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de duas variáveis e verificar se o valor do limite é o mesmo independente do caminho que a gente escolhe para chegar até
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis quando
tende a
. Basicamente, queremos ver se, conforme
e
ficam cada vez menores e se aproximam de zero, o valor de
se aproxima de algum número específico.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos que levam a
. Se obtivermos o mesmo resultado para todos os caminhos, é provável que o limite exista e seja igual a esse valor. Porém, se os limites forem diferentes para caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Então, ao longo do eixo
, o limite é 0.
Passo 5
Vamos agora calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é 0.
Passo 6
Agora, vamos tentar um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante que vamos determinar. Vamos substituir
na função:
Para simplificar, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Agora, vamos analisar o comportamento quando
tende a 0, dependendo do valor de
:
-
Se
e , ou seja, se e , então os termos e vão para 0, e o denominador vai para 1. Então, o limite é 0. -
Se
, temos:
E o limite quando
tende a 0 é 0.
- Se
, então , e o denominador tende a infinito, fazendo com que o limite seja 0.
Em todos os casos, o limite ao longo do caminho
é 0.
Passo 7
Até agora, vimos que ao longo de diferentes caminhos, o limite sempre foi 0. Mas para termos certeza, vamos usar a coordenada polar, que é uma ferramenta poderosa para analisar limites em duas variáveis.
Na coordenada polar, temos
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Vamos simplificar isso:
Agora, fatoramos
no denominador:
Simplificando, dividindo numerador e denominador por
:
Agora, ao deixar
tendendo a 0:
-
O numerador
tende a 0, porque ambos os termos têm . -
O denominador
tende a , que é um valor finito.
Portanto, o limite geral é:
Resposta
O limite
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(a)
(a)
Em cada caso, calcule as derivadas
e
.
(b)
(b)
Faça o esboço da função
em seu domínio segundo o roteiro: Encontre os valores extremos de
.