Calcule os limites, sabendo que eles existem e são finitos:
lim x 1 x^3-1x^2-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos tentar substituir 1^3 - 11^2 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite. Substituindo:
Esse resultado é uma indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para resolver a indeterminação x^3 -1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) , vamos fatorar o numerador e o denominador. Primeiro, fatoramos x^2 -1 = (x - 1)(x + 1) :
E o denominador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^3-1x^2-1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x +1)
Podemos cancelar o termo x^2 + x + 1x +1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 1^2 + 1 + 11 +1 = 1 +1 +12 = 32 diretamente:

Resposta

lim x 1 x^3-1x^2-1 = 32

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